6. Спин-орбитальное взаимодействие

Наличие спина у электрона должно влиять на его энергию в атоме. Движение электрона создает магнитное поле, а поскольку электрон имеет собственный магнитный момент (спиновый), то возникает энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем. Эту энергию необходимо прибавить к той, которую мы рассматривали до сих пор.

Чтобы определить дополнительную энергию электрона, обусловленную взаимодействием спинового магнитного момента электрона с магнитным полем, перейдем к системе отсчета, которая движется вместе с электроном. В этой системе координат электрон находится в покое в начале координат, а ядро движется вокруг электрона со скоростью , которая численно равняется скорости электрона, но имеет противоположное направление. При своем движении положительно заряженное ядро создает ток силой , а магнитное поле этого тока в точке, где находится электрон, будет равняться

. (6.44)

Векторное произведение представим с помощью момента количества движения электрона. Принимая во внимание, что орбитальный момент

, (6.45)

получим

. (6.46)

Дополнительную энергию взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем можно рассматривать как малое возмущение по сравнению с главной частью гамильтоновой функции

. (6.47)

В соответствии с выводами теории возмущения (см. разд. 5.1) дополнительная энергия, которая обусловлена возмущением, равняется среднему значению оператора возмущения в соответствующем невозмущенном состоянии, то есть

. (6.48)

Ввиду того, что в (6.47) изменяется только , усреднять нужно только :

. (6.49)

Поскольку усреднение проводится по невозмущенными состояниями, можно воспользоваться собственными функциями для атома водорода или водородоподобных ионов (см. табл.2.1, необходимо учитывать заряд ядра ). В результате вычисления получим

, (6.50)

где – боровский радиус.

Рассмотрим теперь скалярное произведение . Спиновый магнитный момент электрона связан со спином соотношением (3.20), а численные значения спинового и орбитального моментов равняются

, (6.51)

. (6.52)

Следовательно,

. (6.53)

Подставляем (6.50) и (6.53) в (6.49) и получим

. (6.54)

Но учет всех релятивистских эффектов уменьшает это выражение вдвое. Воспользовавшись боровским радиусом , постоянной Ридберга , постоянной Планка и постоянной тонкой структуры , получим из (6.54):

. (6.55)

Вычислим, воспользовавшись рис.6.1 и теоремой косинусов

,

где , , . Отсюда находим

. (6.56)

Подставим (6.56) в (6.55) и получим

,

а отсюда поправка к терму (2.70):

. (6.57)

Поскольку для электрона , то второй множитель в формуле принимает значение:

для

и для .

Соответствующие значения будут

(6.58)

Таким образом, полная поправка к терму состоит из суммы релятивистской поправки и поправки спин-орбитального взаимодействия

.

Воспользовавшись формулами (6.55) и (6.58) и выполнив ряд несложных преобразований, получим формулу тонкой структуры

, (6.59)

где – квантовое число: .

Из формулы видно, что для термов , для которых принимает только одно значение 1/2, поправка лишь смещает -термы, но не расщепляет их. Для остальных термов ( ) квантовое число принимает по два значения , поэтому каждый уровень, который отвечает этим термам, расщепляется на два подуровня. Например, для главного квантового числа расщепление дает три подуровня (один -терм и два -терма), для пять подуровней и т.д. однако среди этих подуровней всегда находятся попарно совпадающие. Поэтому для образуется только два подуровня вместо трех, для – три подуровня вместо пяти и т.д. Кроме того, следует принять во внимание, что в соответствии с формулой (6.59) поправка быстро уменьшается при увеличении главного квантового числа . Поэтому тонкая структура линий серии Бальмера определяется двойственностью уровня .

1 Ланде Альфред (1888-1975) – немецкий физик-теоретик. Работы по изучению атомной структуры, атомных спектров, термодинамике, квантовой механике. Им введен g–фактор.

15