3. Поверхности второго порядка.

При изучении поверхностей второго порядка в будем пользоваться только прямоугольными декартовыми системами координат, рассматривая преобразования их с возможным переносом начала из точки в точку . Общее уравнение поверхности второго порядка в системе имеет вид

. (7)

Приводя ненулевую квадратичную форму к главным осям и, возможно, выполняя перенос начала координат, получим прямоугольную систему , в которой легко записать каноническое уравнение поверхности. Как и в случае изучения кривых на плоскости, нетрудно ввести матрицы и рассмотреть все возможные структуры матриц , а также найти корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, выразив их через инварианты поверхности.

Теорема 8. Общее уравнение поверхности второго порядка, заданное в прямоугольной декартовой системе координат, переходом к другой прямоугольной системе координат можно привести к одному из следующих типов уравнений:

1. , , , .

2. , , , .

3. , , .

4. , , .

5. , .

(Без доказательства. Доказательство см. в [2,3].)

Все коэффициенты уравнений I – V можно выразить через инварианты и полуинварианты данной поверхности. Уравнения типов III, IV, V задают в пространстве цилиндрические поверхности; для их изучения достаточно рассмотреть кривые второго порядка в плоскости (см. теорему 1). Рассмотрим все случаи уравнений типов I, II и опишем элементарные свойства поверхностей второго порядка.

Уравнение типа I можно записать в виде

, (8)

– каноническое уравнение эллипсоида. Очевидно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат – его центром симметрии. Эллипсоид – ограниченная поверхность: ; числа суть длины его полуосей. Сечение эллипсоида любой плоскостью является эллипсом. В самом деле: такое сечение является кривой второго порядка, которая ограничена; но такой кривой может быть только эллипс.

Уравнение типа I можно записать в виде

.

Оно описывает «мнимый эллипсоид».

Уравнение типа I можно записать в виде

.

Оно описывает «вырожденный эллипсоид» - единственную точку в начале координат.

Уравнение типа I можно записать в виде

, (9)

– каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Очевидно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии однополостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Рассмотрим сечение однополостного гиперболоида плоскостью ; это сечение является эллипсом. Проекция такого сечения на плоскость имеет уравнение

, где .

Если или , то размеры этого эллипса неограниченно увеличиваются. Однополостный гиперболоид – расширяющаяся в двух направлениях бесконечная «трубка».

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями и являются гиперболами.

Уравнение типа I можно записать в виде

, (10)

– каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. Очевидно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида плоскостью ; это сечение является эллипсом. Проекция такого сечения на плоскость имеет уравнение , где . Отсюда видно, что плоскость пересекает двуполостный гиперболоид только если ; в слое между плоскостями и нет точек двуполостного гиперболоида.

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями и являются гиперболами.

Двуполостный гиперболоид представляет собой две бесконечные «чаши».

Уравнение типа I можно записать в виде

, (11)

– каноническое уравнение эллиптического конуса. Очевидно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллиптического конуса, а начало координат – его центром симметрии. Рассмотрим сечение эллиптического конуса плоскостью ; это сечение является эллипсом. Проекция такого сечения на плоскость имеет уравнение , где . При любом значении плоскость пересекает эллиптический конус. В частности, плоскость пересекает его в единственной точке – в его вершине .

Если точка лежит на поверхности эллиптического конуса, то при любом действительном точка тоже лежит на его поверхности. Таким образом, вся прямая, проходящая через точки и , целиком лежит на поверхности эллиптического конуса.

Эллиптический конус представляет собой две бесконечные «воронки» с общей вершиной.

Уравнение типа II можно записать в виде

, (12)

– каноническое уравнение эллиптического параболоида. Очевидно, что плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а центра симметрии у него нет. Эллиптический параболоид расположен в полупространстве . Рассмотрим сечение эллиптического параболоида плоскостью ; это сечение является эллипсом. Проекция такого сечения на плоскость имеет уравнение , где . Отсюда видно, что при размеры этого эллипса неограниченно увеличиваются.

Сечение эллиптического параболоида плоскостью является параболой: . Сечение эллиптического параболоида плоскостью также является параболой: .

Эллиптический параболоид представляет собой бесконечную «чашу».

Случай отвечает замене переменной на .

Уравнение типа II можно записать в виде

или , (13)

– каноническое уравнение гиперболического параболоида. Будем рассматривать только первое уравнение (13).Очевидно, что плоскости и являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а центра симметрии у него нет. Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью ; это сечение является гиперболой. Проекция такого сечения на плоскость имеет уравнение , где .Сечение гиперболического параболоида плоскостью также является гиперболой; его проекция на имеет уравнение , где .Плоскость пересекает гиперболический параболоид по двум прямым: и .

Гиперболический параболоид представляет собой бесконечное «седло».

Уравнение гиперболического параболоида удобно записать еще в переменных , , : первое из уравнений (13) примет вид .

Теорема 9. Через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две различные прямые линии, которые целиком лежат на этих поверхностях.

(Без доказательства. Доказательство см. в [2,3].)

183