Тема 10. Кривые и поверхности второго порядка.
1. Гиперповерхности второго порядка.
Понятия линии
на плоскости и поверхности в пространстве
являются интуитивно ясными, и мы не
будем давать им строгого математического
определения (см. [2]). В теме 5 были изучены
аналитические способы описания прямых
линий и плоскостей (плоских
поверхностей);
рассматривались также плоскости
различных размерностей в конечномерном
линейном пространстве. Плоскость,
размерность которой на единицу меньше
размерности пространства, описывается
в аффинной системе координат одним
линейным уравнением – алгебраическим
уравнением первого
порядка – вида
,
где
– некоторая ненулевая линейная форма;
такую плоскость называют гиперплоскостью.
Кривые
линии и криволинейные
поверхности в аффинных системах координат
описываются нелинейными уравнениями;
наиболее просты из них алгебраические
уравнения второго
порядка. Если
- действительное линейное пространство,
,
то гиперповерхностью
второго порядка называют
геометрическое место точек
,
удовлетворяющих уравнению
,
где
– определенная на
ненулевая квадратичная форма,
– линейная форма,
(коэффициент 2
выбран для удобства дальнейших
обозначений). В фиксированном базисе
пространства
,
и гиперповерхность второго порядка
задается одним уравнением
, (1)
где
для всех
и
.
Может оказаться, что для некоторого
уравнения такого вида в действительном
пространстве нет ни одной удовлетворяющей
ему точки; в таких случаях принято
говорить, что уравнение описывает
мнимую гиперповерхность.
Например,
– уравнение «мнимой окружности» в
,
– уравнение «мнимой сферы» в
.
В принятых в теме 9 обозначениях уравнение
(1) записывается в матричном виде
.
Для изучения
гиперповерхностей второго порядка
предположим, что
– евклидово пространство, и будем
пользоваться только ортонормированными
базисами. Пусть в ортонормированном
базисе
гиперповерхность имеет уравнение (1).
Приведем квадратичную форму
к главным осям, т.е. найдем ортонормированный
базис
,
в котором квадратичная форма имеет
канонический вид. Такое ортогональное
преобразование независимых переменных
приводит уравнение (1) к виду
, (2)
в котором свободный член
не изменился. Наряду с матрицей
квадратичной формы в базисе
рассмотрим расширенную матрицу
.
В базисе
получим
и
.
Определение. Величины и функции, определяемые коэффициентами уравнения (1), которые не изменяются при преобразованиях координат, называют инвариантами гиперповерхности относительно этих преобразований.
Укажем инварианты относительно
ортогонального преобразования координат:
характеристические многочлены матриц
и
,
.
Для упрощения
уравнения (1) кроме ортогональных
преобразований будем еще применять
операцию параллельного переноса на
фиксированный вектор
,
которая каждому вектору
ставит в соответствие
.
Эту операцию можно рассматривать как
перенос начала координат из точки
в новую точку
.
Величины
инвариантны относительно параллельного
переноса. Отметим еще, что матрица
при такой операции не изменяется;
изменяются
и
.