Ограниченные и неограниченные последовательности

Поскольку последовательности являются числовыми множества­ми, то естественно ввести понятие их ограниченности, как это было сделано для множеств в параграфе 1.4.

■ Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (число т), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ).

■ Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа т и М, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет не­равенствам .

Пусть , тогда условие ограниченности последова­тельности можно записать в форме

■ Определение 4. Последовательность называется неограничен­ной, если для любого положительного числа А существует элемент , этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

Из определений 2—4 следует, что все элементы ограниченной свер­ху последовательности принадлежат промежутку а ограни­ченной снизу — лежат на промежутке . Неограниченная после­довательность может быть ограничена сверху (снизу). Все элементы ог­раниченной последовательности принадлежат отрезку .

Рассмотрим несколько примеров последовательностей.

1. Последовательность не ограничена снизу, но ограничена сверху.

2. Последовательность ограничена, так как любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенст­вам .

3) Последовательность неограниченная. Дей­ствительно, каково бы ни было число , среди элементов этой последовательности найдутся элементы, для которых будет выполнять­ся неравенство .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

■ Определение 5. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при (для всех элементов последовательности с но­мерами выполняется неравенство .

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность яв­ляется неограниченной. Обратное утверждение неверно: неограничен­ная последовательность может и не быть бесконечно большой. Напри­мер, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4, ..., 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при неравенство не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.

■ Определение 6. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такой но­мер N , что при выполняется неравенство .

Приведем примеры бесконечно больших и бесконечно малых по­следовательностей.

1. Докажем, используя определение 5, что последовательность {n} является бесконечно большой. Возьмем любое число . Из нера­венства получаем . Если выбрать , то для всех будет выполняться неравенство .

2. Докажем, что последовательность является бесконечно ма­лой. Возьмем произвольное число . Из неравенства определения 6 получаем, что . Если принять , то для всех будет выполняться неравенство , т.е. . Тогда, согласно определению 6, последовательность является бесконечно малой.

Теперь докажем теорему, устанавливающую связь между беско­нечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

▼ Теорема 2.1. Если — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая. Если все элементы бесконечно малой последова­тельности отличны от нуля, то последовательность бесконечно большая.

Доказательство. Пусть — бесконечно большая последователь­ность. Для произвольно взятого числа положим . Согласно определению 5, для этого А существует такой номер N, что при выполняется неравенство . Отсюда получаем: для всех , т.е. последовательность является бесконечно ма­лой, согласно определению 6.

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично. ▲