
1.5. Абсолютная величина числа
По определению абсолютная величина вещественного числа х (модуль числа)
Рассмотрим свойства абсолютной величины.
Это свойство непосредственно вытекает из определения модуля числа: если число неотрицательно, его абсолютная величина равна самому числу; модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком.
Также следует из определения модуля числа (1.4).
Если
,
то
и
тогда
,
отсюда
,
т.е.
;
если
,
то по выражению (1.4)
,
откуда
.
Но так как
,
то и получаем
.
.
Пусть а — положительное число, тогда
неравенства
равносильны.
Пусть
,
выведем
отсюда второе неравенство.
Если
,
то
,
т.е.
или
Если
, то
,
откуда
,
или
.
Объединяя полученные неравенства, получаем
Пусть
теперь справедливо неравенство
;
покажем,
что отсюда
следует первое неравенство. Действительно,
одновременно выполняются
неравенства
и
.
Из
второго неравенства имеем:
.
По определению
модуля числа [см. формулу (1.4)] он равен
либо
,
либо
,
т.е. отсюда и следует, что
.
.
Для
любых двух действительных чисел
и
справедливо неравенство
По
свойству
,
Складывая эти неравенства почленно, получаем
Но по свойству эти неравенства равносильны двойному неравенству (1.5).
В это свойство можно включить также и двойное неравенство
.
Для
любых двух действительных чисел х и у
справедливо неравенство
Очевидно тождество для любых двух чисел х и у
По свойству
откуда и получаем утверждение (1.7).
Глава 2. Предел последовательности
2.1. Числовые последовательности
Числовые последовательности и операции над ними
Числовые
последовательности представляют собой
бесконечные множества чисел. Примерами
последовательностей могут служить:
последовательность
всех членов арифметической и геометрической
прогрессий,
последовательность приближенных
значений
последовательность периметров правильных
n-угольников,
вписанных в данную окружность. Уточним
понятие числовой последовательности.
■ Определение
1. Если
каждому числу п
из
натурального ряда чисел
1, 2, 3, .:., п,
... поставлено
в соответствие вещественное число
,
то
множество
вещественных чисел
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Числа
будем
называть элементами,
или
членами,
последовательности
(2.1), символ
— общим элементом, или
членом, последовательности,
а число п
—
его номером.
Сокращенно
последовательность (2.1) будем обозначать
символом
.
Например, символ
обозначает
последовательность чисел
Иными
словами, под последовательностью можно
понимать бесконечное
множество занумерованных элементов
или множество пар чисел
,
в
которых первое число последовательно
принимает значения
1, 2, 3,... . Последовательность считается
заданной, если указан способ
получения любого ее элемента. Например,
формула
определяет
последовательность 0, 2, 0,
2, ... .
Геометрически
последовательность изображается на
числовой оси в
виде последовательности точек, координаты
которых равны соответствующим
членам последовательности. На рис. 2.1
изображена последовательность
на
числовой прямой.
Рис.2.1
Рассмотрим
арифметические действия над числовыми
последовательностями. Пусть даны
последовательности
и
.
Суммой последовательностей назовем последовательность
или
,
разностью —
последовательность
или
Произведением последовательности на число т назовем последовательность
Произведением последовательностей назовем последовательность
Частным назовем последовательность
если все члены последовательности отличны от нуля.