Хуета / Анализ бесконечно малых

§ 1. Сравнение бесконечно малых функций

Определение 1.1. Пусть функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми при ха.

• Если существует , то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при ха.

• Если существует , то α(x) называется величиной более высокого порядка малости, чем β(x) при ха.

Обозначение: α(x) = o(β(x)) при ха (α(x) есть о малое от β(x)).

• Если не существует , то бесконечно малые α(x) и β(x) называются несравнимыми при ха.

Например, sin2x и – бесконечно малые одного порядка при х0, так как . Функция sin2x имеет более высокий порядок малости, чем х при х0 (или sin2x=о(х) при х0), поскольку Бесконечно малые и α(x) и β(x) = х несравнимы при х0, так как а не существует (это можно показать с помощью определения предела функции на языке последовательностей).

Замечание 1.1. Если , то Тогда β(x) = o(α(x)) при ха.

Сравнить две бесконечно малые функции – это значит установить, что они являются бесконечно малыми одного порядка, или что одна из них более высокого порядка, чем другая, или что они несравнимы. Для этого надо найти предел их отношения, т.е. раскрыть неопределённость .

Определение 1.2. Если существует , то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми при ха.

При отыскании предела отношения бесконечно малых α(x) и β(x) при

используется теорема о замене эквивалентными в отношении и таблица эквивалентных бесконечно малых функций, так как для α(x) и β(x) полезно найти эквивалентные бесконечно малые простейшего вида С(х – а)^k.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть функция при . Тогда

.

Пример 1.1. Сравнить бесконечно малые α(x) = и β(x) = при .

►α(x) =~Þα(x)~ (здесь использована формула , где при , ). Имеем: β(x)=~=Þ~, здесь использована формула где при . В результате применения теоремы о замене эквивалентными в отношении получим: ¹0, ∞. Поэтому заключаем, что α(x) и β(x) бесконечно малые одного порядка при .◄

Пример 1.2. Сравнить бесконечно малые и при .

►Имеем ~~, здесь использованы формулы: , и , где при . Имеем: . Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получим: . Таким образом, α(x) является величиной более высокого порядка малости, чем β(х) при х→ 0, при х→ 0.◄

Пример 1.3. Сравнить бесконечно малые α(x) и β(x)при .

►Имеем α(x)~ (здесь использована формула где при ), β(x)=~ ~~, (здесь использованы формулы:

и , , где при ). Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получим: . Следовательно, и поэтому заключаем, что β(x) – величина более высокого порядка малости, чем α(x) при , β(x) = o(α(x)) при .◄

Пример 1.4. Сравнить бесконечно малые и при .

►Заметим, что β(x) не эквивалентна аргументу функции sinπx, который не является бесконечно малым при . Чтобы найти эквивалентную бесконечно малую для этой функции, сделаем замену переменной. Пусть y = x–3, x = y + 3, при . Имеем:

.

Так как sin(πy + 3π) = sin(πy + 2π + π)  = sin(πy + π)  = – sinπy, то

=,

здесь использованы периодичность функции синус, формулы приведения из элементарной тригонометрии, а также соотношение где при . Поскольку , то заключаем, что α(x) и β(x) бесконечно малые одного порядка при .◄

Пример 1.5. Сравнить бесконечно малые α(x) и α(x) и β(x)при .

►α(x)~, здесь использована формула где при . Используя формулу для тангенса суммы двух углов, преобразуем выражение для β(x): β(x) =   Имеем: , ∞, следовательно, α(x) и β(x) – бесконечно малые одного порядка при .◄

§ 2. Определение порядка бесконечно малой функции.

Определение 2.1. Пусть функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми при . Бесконечно малая α(x) называется бесконечно малой k-го порядка по отношению к бесконечно малой β(x) при ха, если существует .

Так, функция α(x) =sin2x имеет 2-ой порядок малости относительно β(x) =х () при х0, ибо .

Определить порядок малости бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) при ха – значит найти число k такое, чтобы . При этом используется теорема о замене эквивалентными в отношении и таблица эквивалентных бесконечно малых функций (§1), так как для α(x) и β(x) полезно найти эквивалентные бесконечно малые вида С(х – а)^k.

Пример 2.1. Определить порядок бесконечно малой α(x). относительно бесконечно малой β(x) = х при .

► (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы: , , и при ). Поскольку – при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.2. Определить порядок бесконечно малой α(x) ) =  относительно бесконечно малой β(x) = х при .

► (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формула: при ). Разложив числитель на множители, получим: . Поскольку –3 при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.3. Определить порядок бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) = х при .

►. Числитель разложим на множители по формуле разность косинусов, получим: . После применения теоремы о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы: и при имеем: . Поскольку 8 при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.4. Определить порядок бесконечно малой α(x). относительно бесконечно малой β(x) = х при .

►. Числитель заменим на эквивалентную, получим: (использована формула при ). Перенесём иррациональность из числителя в знаменатель, умножив оба члена дроби на выражение, сопряжённое к числителю: . Поскольку при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 3.◄

Пример 2.5. Определить порядок бесконечно малой α(x) =  относительно бесконечно малой β(x) = х – 1 при х1.

►==. Так как 1, то=1 при . Поэтому порядок малости α(x) относительно β(x) при х1 равен 3.◄

Пример 2.6. Определить порядок бесконечно малой α(x) = cos(πsinх) + 1 относительно бесконечно малой β(x) = х – π/2 при .

►Для α(x) найдём эквивалентную бесконечно малую вида С(х – π/2)^k. В результате применения формул для половинных и дополнительных углов из элементарной тригонометрии и формул из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение:

α(x) =

~~.

Итак, α(x) ~ при . Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получаем:

при при k = 4. Таким образом, порядок малости α(x) относительно β(x) при х равен 4.◄

Пример 2.7. Определить порядок бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) = х – π при .

►. Используя основное логарифмическое тождество, представим функцию в виде: . Имеем === (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы и при . Заметим, что разность не эквивалентна при , так как не стремится к нулю при . Чтобы найти для этой разности эквивалентную бесконечно малую, сделаем замену переменной: y = х – πx = y + π:

. Поскольку при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при равен 3.◄

§3. Выделение главной части бесконечно малой функции.

Определение 3.1. Пусть даны функции α(x) и β(x), являющиеся бесконечно малыми при ха. Функция называется главной частью функции α(x) при ха, если α(x) при ха можно представить в виде:

α(x) = β(x) + o(β(x)). (3.1)

Если бесконечно малые α(x) и β(x) эквивалентны при ха, то для них справедливо равенство (3.1) (свойство эквивалентных бесконечно малых). Поэтому данная бесконечно малая функция α(x) при ха может иметь бесчисленное множество главных частей, так как любая бесконечно малая функция β(x), эквивалентная α(x), будет её главной частью. Например, функции х, tg x – главные части функции sin x при х0, так как при х0 справедливы утверждения: sin x~x, sin x~tg x.

Обычно главную часть функции α(x), бесконечно малой при ха, находят в

наиболее простом виде, например, в виде степенной функции β(x) = С(х – а)^k, k > 0, при aR или β(x) = С(1/х)^k, k > 0, при a. Найти для α(x) такую главную часть – значит определить константу С и порядок k этой функции относительно разности x – a или дроби 1/х.

Найти для α(x) главную часть простейшего вида С(х – а)^k, k > 0, при ха – это значит найти константу С и число k такие, чтобы .

Пример 3.1. Выделить главную часть вида Сх^k из бесконечно малой α(x) = cos2х – cos4х при х  0.

►В результате применения формулы для разности косинусов и формулы из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение: α(x). Таким образом, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция 6х², имеющая указанный вид (С = 6, k = 2), следовательно, 6х².– главная часть α(x) при х  0.◄

Пример 3.2. Выделить главную часть вида Сх^k из бесконечно малой α(x) = при х  0.

► Найдём число k и константу С такие, чтобы выполнялось равенство: =1. Перенесём иррациональность из числителя в знаменатель, для этого умножим оба члена дроби на выражение, сопряжённое к числителю: = (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формула: при ). Поскольку при k = 2 и , то ~ при х  0 и, следовательно, функция – главная часть бесконечно малой α(x) при х  0.◄

Пример 3.3. Выделить главную часть вида С(х – 2)^k из бесконечно малой α(x) при х  2.

►В результате применения формулы из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение:

α(x) .

Итак, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция 3(х– 1)², имеющая указанный вид (С = 3, k = 2), следовательно, 3(х–1)²– главная часть α(x) при х  2.◄

Пример 3.4. Выделить главную часть вида С(х – 1)^k из бесконечно малой α(x) = cos(πe^x–1) + 1 при х1.

►В результате применения формул для половинных и дополнительных углов из элементарной тригонометрии и формул из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение: α(x) = 2cos² = 2sin² 2sin².

Итак, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция , имеющая указанный вид (С = , k = 2), следовательно, – главная часть α(x) при х  1.◄

Пример 3.5. Выделить главную часть вида С(1/х)^k из бесконечно малой α(x) = при х.

►, α(x) = при х (использована формула при х). Имеем при х, отсюда заключаем: при х, следовательно, – главная часть бесконечно малой α(x) при х.◄

Пример 3.6. Выделить главную часть вида С(х – e)^k из бесконечно малой α(x) = х^x – e^x при х.

►Используя основное логарифмическое тождество, представим функцию х^x в виде: х^x = e^xlnx. Имеем α(x) = e^xlnx – e^x =  e^x(e^xlnx-х–1). В результате применения из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) получаем соотношение:

α(x) ~ е^е(х(lnx – 1)) = е^е+1(lnx – lne) = е^е+1~

при х. Итак, α(x) ~  при х, Следовательно, e^e (х–е) – главная часть бесконечно малой α(x) при хе.◄

Пример 3.7. Выделить главную часть вида Сх^k из бесконечно малой α(x) = arccos(1 – x) при х.

►Чтобы найти для α(x) эквивалентную бесконечно малую функцию указанного вида, применим формулу . Имеем

α(x) ~sin(arccos(1 – x)) при х.

Преобразуем функцию sin(arccos(1 – x)), Используя определение арккосинуса. Пусть arccos(1 – x) = γ, где γ – угол или дуга такая, что cosγ = 1 – x и , тогда sin(arccos(1 – x)) = sinγ = . Итак, ~ при и функция – главная часть бесконечно малой α(x) при .◄

Пример 3.8. Выделить главную часть вида из бесконечно малой α(x) = π – 4arctg(x² – 2x + 2) при х.

►α(x). Для отыскания алгебраической функции, эквивалентной α(x), применим формулу , положив

u = , а также формулу для разности тангенсов двух углов из элементарной тригонометрии:

α(x) .

Итак, α(x) ~ – 2(x – 1)² при и функция  – 2(x – 1)² – главная часть бесконечно малой α(x) при .◄