Хуета / Графики. Метод. указания

Глава 4. Исследование функций и построение графиков

План исследования функции

1. Отыскание области определения данной функции , установление свойств чётности (нечётности) и периодичности.

2. Отыскание точек пересечения графика функции с осями координат и промежутков знакопостоянства.

3. Исследование функции на непрерывность и существование асимптот.

4. Отыскание промежутков монотонности и точек экстремума.

5. Отыскание промежутков одинаковой направленности выпуклости графика функции и точек перегиба.

6. Построение математического эскиза графика функции и отыскание множества её значений.

Пример 4.1. Исследовать функции и построить её график.

►1. .

2. График пересекает оси координат в точках (2, 0) и (0, –4), при , при .

3. Функция непрерывна на как элементарная, – точка разрыва 2 рода (), прямая – вертикальная асимптота графика функции (определение 4.5). Вычисляя пределы (4.1), имеем:

,

.

Итак, прямая – наклонная асимптота графика функции (теорема 4.5).

4. , на только две критические точки: , . Вместе с точкой они делят ось Ох на 4 промежутка: (– ∞, –1), (–1, 1), (1, 2), (2, +∞). Знак в каждом из них приведён в таблице 4.1. Характер изменения функции указан стрелками, символ –

символ несуществования, – точка гладкого максимума, а в точке нет экстремума, ибо не меняет знака при переходе аргумента х через эту

точку.

Т а б л и ц а 4.2

х		1		2
	–		–	0	+
				0

Т а б л и ц а 4.1

х		–1		1		2
	+	0	–		+	0	+
		–27/8 mах				0

5. , – единственная точка, подозрительная на перегиб,. Вместе с точкой она делит ось Ох на три промежутка: (1, 2) . Знак в каждом из них приведён в таблице 4.2. В ней дугами указано направление выпуклости графика функции, (2, 0) – точка перегиба графика.

Рис. 4.8. График функции

6. Результаты проведённых исследований используем для построения графика данной функции. Сначала строим асимптоты, точку максимума и точку перегиба, затем строим график функции с учётом характера поведения функции на (таблица 4.1) и направления выпуклости графика (таблица 4.2). График данной функции приведён на рис. 4.8, Е(f )=R.◄

Пример 4.2. Исследовать функцию и построить её график.

►1. D( f ) = R. Не выполняется ни одно из равенств: f (–x) = – f (x),

f (–x) = f (x), данная функция не является чётной или нечётной – её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

2. f (x) = 0   x = 1, график пересекает ось Oх в точке (1, 0). Для того чтобы найти ординату точки пересечения графика функции с осью Oy, вычислим f (0): f (0). График пересекает ось Oу в точке (0, ).

3. Данная функция непрерывна на D(f )= R как элементарная и, следовательно, её график не имеет вертикальных асимптот. Решая вопрос о существовании наклонных или горизонтальных асимптот, для данной функции вычислим пределы из равенств (4.1):

,

Значит, наклонных асимптот нет, а имеется одна горизонтальная асимптота при . Графически это означает, что при график данной функции неограниченно приближается к оси абсцисс, не пересекая её.

x

y

2

3

1

– e²

1

2

3

4. при x = 2. Так как на интервале (2, + ∞) и на интервале (– ∞, 2), то по теореме 4.2 в точке x = 2 функция имеет гладкий максимум (т.к. ), .

5. при x = 3. Так как на интервале (– ∞, 3) и на интервале (3, + ∞), то график функции в силу теоремы 4.4 на первом из этих интервалов направлен выпуклостью вверх, а на втором – выпуклостью вниз, точка (3, 2e^–1) является точкой перегиба графика.

6. По результатам проведённых исследований строится график данной функции (рис. 4.9), Е( f )=(– ∞, 1]. ◄

3