3.1.2 Указания по выполнению задания д-1

Основное уравнение динамики материальной точки:

, (3.1)

где – масса точки,

– ускорение материальной точки,

– равнодействующая сил, действующих на точку:

.

Проецируя обе части уравнения (3.1) на неподвижные декартовые оси

x, у, z, получим:

(3.2)

Уравнения (3.2) называют дифференциальными уравнениями движения ма­териальной точки в проекциях на неподвижные декартовые оси. Используя эти уравнения, можно по известной массе точки и силам, действующим на неё, найти уравнения движения точки. В этом и заключается вторая основная (обратная) за­дача динамики точки. Решение задачи сводится к двойному интегрирова­нию. После интегрирования в решение войдут постоянные интегрирования, для определения которых используют начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени. При прямолинейном движении вдоль оси х начальные условия задаются в виде:

при = 0 . (3.3)

Решение задачи на интегрирование дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям:

1. Выбрать начало отсчёта, совмещая его с начальным положением точки, и при прямолинейном движении совместить одну из осей координат с направлени­ем движения.

2. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие на точку си­лы, включая и силы реакций.

3. Составить уравнения движения точки в виде уравнений (3.2).

4. Решить составленные уравнения интегрированием. В тех случаях, когда на точку действуют постоянные силы, а также силы, зависящие от времени и от скорости уравнения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом необходимо определить только скорость точки, то часто можно ограничить­ся одним интегралом.

5. Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия в виде (3.3.). Если дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то можно брать определённые интегралы и не вводить постоянные интегрирования.

6. Определить искомые в задаче величины.

Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать уравнение движения точки на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем по известному времени движения на участке АВ или длине определить скорость в точке В. Эта скорость будет начальной при движении на участке ВС. После этого нужно составить дифференциальное уравнение и интегрировать его для участка ВС с учётом начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда груз находился в точке В, полагая в этот момент . При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда дана длина участка, удобнее перейти к переменному х, учитывая, что

.

3.1.3 Пример выполнения задания д-1

Пример Д-3.1. Груз D массой m = 2 кг движется в вертикальной плоскости в изогнутой трубе АВС, получив в точке А скорость = 5 м/с (рис.3.31). На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действует сила (её направление показано на рисунке), причём = 2 Н, сила сопротивления среды , коэффициент трения груза о трубу = 0,1, АВ = = 2,5 м.

Не изменяя скорости движения, в точке В груз переходит на участок ВС трубы, где на него действуют, кроме силы тяжести и силы трения (коэффициент трения ), переменная сила проекция которой на ось Ox: , и сила Найти закон движения груза на участке ВС: , где

Рис 3.31. Расчетная схема к примеру Д-3.1

Решение:

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. Изображаем груз и действующие на него силы: . Проведем оси и составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси:

(3.4)

Далее находим:

.

Известно, что , ( не изменяется). Из второго уравнения системы (3.4): , находим .

Значит, и первое уравнение в системе 3.4. запишется:

. (3.5)

Учитывая, что разделив обе части (3.5) на m, имеем:

Подставляя числовые значения ( ), получим:

,

где .

Разделяя переменные, запишем:

. (3.6)

Интегрируя обе части уравнения (3.6), имеем:

. (3.7)

По начальным условиям и , что дает .

Из (3.7) определяем:

или .

Отсюда

.

В результате находим:

. (3.8)

Полагая в (3.8) и заменяя и их значениями, определим скорость в точке В:

.

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Проведём из точки В оси Вх и Вy и покажем действующие на груз силы: . Составим уравнения движения груза в проекциях на оси х и у:

(3.9)

В уравнениях (3.9) . Так как , то из второго уравнения (3.9) имеем: , откуда .

Следовательно, .

Кроме того, и первое уравнение системы (3.9) принимает вид:

. (3.10)

Разделив обе части равенства на т и подставляя значения , получим:

.

Умножая обе части вышеприведенного равенства на dt и интегрируя, находим уравнение скорости:

. (3.11)

Будем отсчитывать время от момента, когда груз находился в точке В, тогда в этот момент . При . Подставляя эти величины в уравнение скорости, получим: .

Поэтому

.

Так как , подставляя это выражение в вышеприведенное равенство, разделяя переменные и интегрируя, будем иметь:

.

При начальных условиях . Закон движения груза будет иметь вид:

,

где х - в метрах; t - в секундах.

Ответ: м.