Вопрос 17. Эквивалентность ка. Теорема Мура.

Рассмотрим функции переходов и выходов автомата т.о., что бы они были определены на множествах последовательностей (цепочках) сигналов входного алфавита.

∑ - входной алфавит; ∑* - пустое множество цепочек; ε – пустая цепочка; αβγ – цепочки αβ=α^β

Пусть задан автомат

А={S,X,Y,S₀,δ,λ}

Рассмотрим функции переходов и выходов определяемые следующим образом.

δ*: S×X*→S

δ*: (S× ε)=S

δ*(S, аα)= δ*( δ (S, а),α)

λ* S×X*→У*

λ* (S× ε)= ε

λ*( S, аα)= λ(S, а) ^ λ*( δ (S, а),α)

Если в некоторое состояние автомата не существует пути, из начального состояния то такое состояние называется недостижимым такое состояние можно отбросить. Состояние называется достижимым тогда и только тогда когда существует цепочка (ƎαεХ*) δ*( S₀,α)=S достижимо

(∀αεХ*) δ*( S₀,α) ≠S недостижимо

Достижимое множество можно построить алгоритмом основанным на индукции.

На i-м шаге алгоритма строится множество состояний Q_i, достижимых из начального состояния цепочкой длины не более i.

Q₀={ S₀} ∀_i Q_i+1 = Q_i U (U V δ(s,x)) sεQ xεX

Два конечных автомата А={S_А,X_A,Y_A,S_A,δ_0A,λ_A} и B={S_B,X_B,Y_B,S_B,δ_0B,λ_B} называются эквивалентными если выполняется два условия:

1) совпадают вх. алфавиты X_A= X_B=Х

2)совпадают вых. Отображают (∀αεХ*) λ^*_A( S_0B,α)= λ^*_B( S_0B,α)

Для решения вопроса об эквивалентном конечном автомате (КА) можно воспользоваться прямым произвольным КА. X_A= X_B=Х, тогда А×B=<S_А ×S_B,X_A× X_B,Y_B×Y_B,S_B×S_A,δ_0A×δ_0B,λ_A×λ_B>

δ_A×B:(∀S_Аε S_А)(∀S_Bε S_B)( ∀xεX) δ_A×B((S_B,S_A),x)=( δ_A(S_A,x), δ_B(S_B,x))

δ_A×B:(∀S_Аε S_А)(∀S_Bε S_B)( ∀xεX) λ_A×B((S_B,S_A),x)=( λ_A(S_A,x), λ_B(S_B,x))

X

Теорема 1 (Мура): 2 конечных автомата А и В с одинаковыми входами алфавитом Х является эквивалентным тогда и только тогда, когда для любого достижимого состояния (S_A ,S_B) их произведение А×В справедливо следующее (∀xεX) ) λ_A(S_A,x)=λ_В(S_B,x)

(∀αεХ*) λ^*_A( S_0А,α)= λ^*_B( S_0B,α) – определяют КА

Для эквивалентности 2-х конечных автоматов необходимо построить их прямое произведение, исключающее начальное состояние, и проверить выполнение условия Мура.

Вопрос 18. Минимизация конечных автоматов.

Найти min автомат, который реализует заданный автоматное изображение. Эквивалентное состояние называется Z состояние, которые нельзя различить никакими входными экспериментами Z состояния p и q КА А называется эквивалентным если: (∀αεХ*) λ(p,α)=λ*(q,α)

Алгоритм определяет max отношение эквиввалентности на множество состояний КА.

Используем понятие k – эквивалентности состояния p≈_kq – это состояния, которые не различимые входной цепочкой длинны k. p≈kq=>(∀αεХ*,|α|≤k)λ*(p, α)= λ*(q,α)

Алгоритм состоит в последовательном построении на множестве автомата разбиений π₀, π₁, …, π_∞ в один класс π_k попадают все k – эквивалентные состояния. π₀ – все состояния автоматов, π₁ – все состояния на которые автомат реагирует одинаково.

Теорема: Пусть состояния p и q, k – эквивалентны (p≈_kq, k>1) k>1 чтобы p≈_k+1q необходимо чтобы (∀xεX) функции δ (p,x)=_k δ (q,x). Иными словами для того чтобы два k эквивалентных состояния КА были k+1 эквивалентными необходимо и достаточно, чтобы под воздействием любого входного сигнала автомат переходил из этих состояний в пару состояний, которые сами были бы k – эквивалентными.

Если состояния p и q k+1 эквивалентны, означает что они k – эквивалентны.

Блоки разбиения π_k+1 являются под блоками разбиения π_k.Поскольку число состояний N конечное Ǝ конечное число разбиений π_k, начиная с π₀, который включает одинаковые единичный блок, в котором перечислены все состояния автомата.

Теорема3. Пусть π_k+1= π_k, тогда ∀_i>k : π_i= π_k Если при нахождении последующих разбиений π_k следующие разбиения π_k+1 совпадают с π_k значит найденоmaxразбиение.

В основном для определения эквивалентности и минимизации А-распознавателей используются те же подходы с небольшими отличиями. КАр: А={S,X,s₀,δ,F}

Эквивалентность А определяется по той же теореме Мура с использованием прямого произведения автомата с небольшими корректировками формулировок. Прямым произведением КAр Аи В с общим входным алфавитом X является автоматAxB={S_axS_b,X,(s_0a;s_0b),δ_AxB,F_axF_b}

Т.е. δ_AxB=( ; δ_AxB=( δ_A(S_a,x), δ_B(S_b,x))

Теорема Мура для КАр: два КАр А и В с одинаковым входным алфавитом Х являются эквивалентными тогда и только тогда, когда в их прямом произведении АхВ для любого достижимого состоянияs_a и s_b справедливо Два КАр эквивалентны тогда и только тогда, когда при их синхронном функционировании под воздействием одних и тех же входных символах они на каждом шаге всегда оба синхронно попадают в заключительное состояние, либо в незаключительное состояние.Минимизация КАр Два состояния p и q КАр А={S,X,s₀,δ,F} называются эквивалентными, если

{s₃,s₅}=F

Для минимизации КАр также определяют максимально возможное разбиение на классы эквивалентности и выбирают эти классы в качестве новых состояний.

Алгоритм минимизации КАр аналогичен соответствующему алгоритму для А-преобразователя с небольшими отличиями.

Алгоритм также состоит в построении разбиений (П₀, П₁, …, П_k)k<n. В каждый блок разбиений П_kпопадаютk-эквивалентные состояния. Состояниетогда и только тогдаНулевое разбиение П₀для КАр содержит два блока. В один блок – все заключительные состояния, а в другой блок – все остальные состояния. Для построения следующего разбиения используется следующая теорема (5): Пусть в КАр имеется. Для того, что бы, необходимо и достаточноУсловие завершения алгоритма определяется теоремой 6: Пусть П_k+1=П_k=>i>kП_i=П_k