Моноид

1. Определение структуры

Моноид – это полугруппа, содержащая единственный нейтральный элемент (где полугруппа – это группоид, в котором выполняется закон ассоциативности)

Таким образом, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что eа = а = еа для любого а, принадлежащего М.

2. Свойства

а) ассоциативность

(x*y)*z=x*(y*z)

б) в моноиде существует единственный нейтральный элемент е, такой, что для любого а:

e*a=a*e=a

в)Если операция коммутативна, т.е. х*у = у*х, где * - некоторая операция, то моноид называют коммутативным.

Г)

Д) е)

3. Примеры

а) ( (0; 1] ; *), где (0; 1] – полуинтервал рациональных чисел, не включая 0;

е = 1; Проверка: 1*1 = 1*1=1; 0,5*1=1*0,5=0,5;

1*1=1; 0,5*0,5=0,25; 0,25 принадлежит множеству (0; 1]

б) ({R, 0} ; +)

e=0; Проверка: 0+(-1)=-1+0=-1;

-20+(-10)=-30; -30 принадлежит множеству R;

в) ({множество правильных рациональных дробей , 1}; *)

е=1; Проверка: 1*1=1; -0,3*1=1*(-0,3)=-0,3;

-0,5*0,3=-0,15; -0,15 принадлежит множеству правильных рациональных дробей;

4. Практическое применение

Свободные коммутативные моноиды применяются при моделировании параллельных вычислительных систем с помощью асинхронных систем переходов;

Свойства специальных моноидов применяются в теории формальных языков. Формальные языки изучаются как подмножества свободных моноидов и словари как соответствия между языками, в частности, понятие обобщенно обратного словаря. При этом в поле зрения попадают не только искусственные языки (например, языки программирования) и традиционные естественные языки, но и такие нетрадиционные языки, как, например, язык электронного общения,

отличающийся определенной спецификой;

Теория моноидов Крулля применяется к изучению прямых разложений модулей;

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ВолгГТУ)

Кафедра вычислительной техники

Семестровая работа №3 за II семестр

по дискретной математике

Тема «алгебраические структуры»

Вариант №2

Выполнила:студентка группы ИВТ-160 Гладкова М.П.

Проверил: доцент

Скворцов М.Г

Волгоград, 2008г.