Ф

едеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ВолгГТУ)

Кафедра вычислительной техники

Семестровая работа по вычислительной математике

на тему:

Аппроксимация функций

Выполнил:

студент группы ИВТ – 260

Сова А.В.

Руководитель работы:

доцент Скворцов М. Г.

Волгоград 2008г.

Задание 1:

Аппроксимация экспериментальных данных с использованием метода наименьших квадратов:

Xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Yi	6	9,3	10,2	11,5	12	12,7	13,2	14,1	15,4	15,7	15,6	16,1	17

Необходимо найти вид кривой (экспоненциальную зависимость между Хi и Yi), описывающую указанные экспериментальные данные.

1. Составим таблицу:

X	Y	X2	ln Y	X*ln Y
2	6	4	1.791759	3.583518
3	9,3	9	2.230014	6.690042
4	10,2	16	2.322388	9.289552
5	11,5	25	2.442347	12.211735
6	12	36	2.484907	14.909442
7	12,7	49	2.541602	17.612140
8	13,2	64	2.580217	20.641736
9	14,1	81	2.646175	23.815575
10	15,4	100	2.734368	27.343680
11	15,7	121	2.753661	30.290271
12	15,6	144	2.747271	32.967252
13	16,1	169	2.778819	36.124647
14	17	196	2.833213	39.664982

104

1014

275.144572

32.886741

Экспоненциальная зависимость имеет вид:

Y=B*e^(A*X)

Где ;

;

После расчётов находим:

A= 0.067196183

B= 7.3314981

То есть функция имеет вид:

Y = 7.3314981*e ^{0.067196183*x}

2. График

Блок-схема:

Код программы

#include "stdafx.h"

#include <math.h>

int main()

{

float A,B,x,y,N;

float sum_x,sum_xx,sum_lny,sum_xlny;

sum_x=sum_xx=sum_lny=sum_xlny=0;

//sum_x---сумма аргументов

//sum_xx---сумма квадратов аргументов

//sum_lny---сумма натуральных логарифмов

//экспериментальных значений функции

//sum_xlny---сумма х*ln(y)

printf("Введите количество точек N = ");

scanf("%f",&N);

for (int i=N; i>0; i--)

{

scanf("%f",&x);

scanf("%f",&y);

sum_x=sum_x+x;

sum_lny=sum_lny+log(y);

sum_xx=sum_xx+x*x;

sum_xlny=sum_xlny+x*log(y);

};

A=(N*sum_xlny-sum_lny*sum_x)/(N*sum_xx-sum_x*sum_x);

B=(sum_xx*sum_lny-sum_x*sum_xlny)/(N*sum_xx-sum_x*sum_x);

B=exp(B);

printf("\nФункция %f*e^(%f*x)",B,A);

return 0;

}

Задание 2.

Интерполяция сплайнами

Функция задана таблицей:

X	-0.1	-0.08	-0.06	-0.04
Y	6	2.7	14	12

Решение:

Требуется найти значения коэффициентов D1,B1,C1, D2,B2,C2, D3,B3,C3 ,

определяющих кубический сплайн S(x) на трех различных отрезках:

S(x)=a_i+b_i(x-x_i-1)+c_i(x-x_i-1)²+d_i(x-x_i-1)³

S1(x)= 6+ B1*(x+0.1)+ C1*(x+0.1)²+ D1*(x+0.1)³ на -0.1 <= x <= -0.08

S2(x)= 2.7+ B2*(x+0.08)+ C2*(x+0.08)²+ D2*(x+0.08)³ на -0.08 <= x <= -0.06

S3(x)= 14+ B3*(x+0.06)+ C3*(x+0.06)²+ D3*(x+0.06)³ на -0.06 <= x <= -0.04

Составляем систему уравнений:

Из необходимости совпадений в точках значений S(x) и f(x)

b_i*h_i + c_i*h_i² + d_i*h_i³ = y_i – y_(i-1)

1) 0.02* B1 + 0.0004*С1 + D1*0.000008= - 3.3

2) 0.02* B2 + 0.0004*С2 + D2*0.000008= 11.3

3) 0.02* B3 + 0.0004*С3 + D3*0.000008= -2

Из непрерывности S’(x) и S’’(x) во всех точках:

b_(i+1) – b_i – 2*c_i*h_i - 3*d_i*h_i² = 0

c_(i+1) – c_i – 3*d_i*h_i = 0

4) B2 - B1 - 0.04*С1 - D1*0.0012=0

5) B3 - B2 - 0.04*С₂ - D₂*0.0012= 0

6) С2 - С1 - D1*0.06= 0

7) С3 - С2 - D2*0.06= 0

Из условия нулевой кривизны сплайна на концах:

d₁ = 0

c_n + 3*d_n*h_n = 0

8) D1=0

9) С3 + D3*0.06 = 0

Составим матрицу:

B1	B2	B3	C1	C2	C3	D1	D2	D3	Св.член
0.02	0	0	0.0004	0	0	0.000008	0	0	-3.3
0	0.02	0	0	0.0004	0	0	0.000008	0	11.3
0	0	0.02	0	0	0.0004	0	0	0.000008	- 2
-1	1	0	-0.04	0	0	-0.0012	0	0	0
0	-1	1	0	-0.04	0	0	-0.0012	0	0
0	0	0	-1	1	0	-0.06	0	0	0
0	0	0	0	-1	1	0	-0.06	0	0
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	1	0	0	0.06	0

Система может быть решена на ЭВМ программой, использующей метод Гаусса:

B₁ = -731.053

B₂ = 401.053

B₃ = 326.8421

C₁ = 28302.632

C₂ = 28302.632

C₃ = -32013.158

D₁ = 0

D₂ = -1005263.158

D₃ = 533552.6316

Полученные коэффициенты определяют искомый сплайн:

S1(x) = 6 - 731.053*(x+0.1) + 28302.632*(x+0.1)²;

S1(x)= 28302.632*x² + 4929.473*x + 215.921;

S1’(x) = 56605.264*x + 4929.473

на -0.1 <= x <= -0.08

S2(x) = 2.7 + 401.053*(x+0.08) + 28302.632*(x+0.08)² -1005263.158*(x+0.08)³

S2(x) = - 1005263.158*x³ – 212960.518*x² – 14371.579*x – 298.770

S2’(x) = - 3015789.474*x² - 425921.04*x – 14371.579

на -0.08 <= x <= -0.06

S3(x)= 14 + 326.8421*(x+0.06) - 32013.158*(x+0.06)² + 533552.6316*(x+0.06)³

S3(x)= 533552.632*x³ + 64026.315*x² + 2247.592*x +33.61

S3’(x) = 1600657.896*x² + 128052.632*x + 2247.631

на -0.06 <= x <= -0.04

Таблица значений:

x	-0.1	-0.08	-0.06	-0.04
F(x)	6	2.7	14	12
S1(x)	6	2.7000005	-	-
S2(x)	-	2.7	14	-
S3(x)	-	-	14	12
S1’(x)	-731.053	401.052	-	-
S2’(x)	-	401.052	326.841	-
S3’(x)	-	-	326.841	-313.422

График:

Вывод:

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов является наиболее простой и легко реализуемой, но даёт лишь приближённый результат и не строго проходит через все точки. Аппроксимация сплайнами имеет громоздкие расчеты и большую вероятность ошибки при ручном счёте, но является абсолютно точным методом. Получаемая функция точно проходит через все точки. Однако МНК «сглаживает» функцию, выбирая промежуточные значения, что иногда может оказаться более выгодным решением.