Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ВолгГТУ)

кафедра вычислительной техники

Семестровая работа

по вычислительной математике

Тема: «Аппроксимация таблично заданной функции»

Выполнила: студентка группы ИВТ-260

Жидкова Н.

Проверил: Скворцов М.Г.

Оценка работы _________________ баллов

Волгоград, 2008г

Метод наименьших квадратов

1. Постановка задачи

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
y	2,2	4,3	6	8,8	10,3	12,7	14,6	16	17,8	19	21	23	-	-

Зависимость линейная

2. Аппроксимация

y= kx + b

k= 1.87

b= 0.82

y= 1.87x + 0.82

3. График

Сплайны

1. Постановка задачи

xi	0.1	0.3	0.4	0.5
yi	3	-2	-1.8	5

2. Обобщенное уравнение сплайна.

S(x)= a_i + b_i(x – x_i-1) + c_i(x – x_i-1)² + d_i(x – x_i-1)³

3. Система уравнений по расчету сплайна

1) bi*hi + ci*hi² + di*hi³ = yi – y(i-1)

2) b(i+1) – bi – 2*ci*hi – 3*di*hi² = 0

3) c(i+1) – ci – 3*di*hi = 0

4) d1 = 0

5) cn + 3*dn*hn = 0

где i = 1, 2…n

4. Уравнения:

h1=0.2

h2=0.1

h3=0.1

1. 0.2*b1 + 0.04*c1 + 0.008*d1 = -5

2. 0.1*b2 + 0.01*c2 + 0.001*d2 = 0.2

3. 0.1*b3 + 0.01*c3 + 0.001*d3 = 6.8

4. b2 – b1 – 2*0.2*c1 – 3*0.04*d1 = 0

5. b3 – b2 – 2*0.1*c2 – 3*0.01*d2 = 0

6. c2 – c1 – 3*0.2*d1 = 0

7. c3 – c2 – 3*0.1*d2 = 0

8. d1 = 0

9. c3 +3*0.1*d3 = 0

5. Сплайны

S1 = 3 + b1(x – 0.1) + c1(x – 0.1)² + d1(x – 0.1)³ 0.1<=x<=0.3

S2 = -2 + b2(x – 0.3) + c2(x – 0.3)² + d2(x – 0.3)³ 0.3<=x<=0.4

S3 = -1.8 + b3(x – 0.4) + c3(x – 0.4)² + d3(x – 0.4)³ 0.4<=x<=0.5

6. Матрица

	b1	c1	d1	b2	c2	d2	b3	c3	d3
1	0.2	0.04	0.008							-5
2				0.1	0.01	0.001				0.2
3							0.1	0.01	0.001	6.8
4	-1	-0.4	-0.12	1						0
5				-1	-0.2	-0.03	1			0
6		-1	-0.6		1					0
7					-1	-0.3		1		0
8			1							0
9								1	0.3	0

7. С помощью программы находим коэффициенты

b1= -33 b2= -16 b3= 35.7

c1= 40.6 c2= 40.6 c3= 484.8

d1= 0 d2= 1480.6 d3= -1616

8. Сплайны

S1 = 3 – 33 (x – 0.1) + 40.6(x – 0.1)² 0.1<=x<=0.3

S2 = -2 – 16(x – 0.3) + 40.6(x – 0.3)² + 1480.6(x – 0.3)³ 0.3<=x<=0.4

S3 = -1.8 + 35.7(x – 0.4) + 484.8(x – 0.4)² – 1616(x – 0.4)³ 0.4<=x<=0.5

9. Таблица

x	0.1	0.3	0.4	0.5
F(x)	3	-2	-1.8	5
S1(x)	3	-1.976	-	-
S2(x)	-	-2	-1.7134	-
S3(x)	-	-	-1.8	5.002
S1/(x)	-33	-16.76	-	-
S2/(x)	-	-16	36.538	-
S3/(x)	-	-	35.7	84.18

10. График

11. Выводы

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов является наиболее простой и легко реализуемой, в то время как аппроксимация сплайнами имеет более громоздкие расчеты и при этом необходимо проверять совпадение значений в узлах.