Возможны формальные системы, в которых аксиомы порождают ложные теоремы, т.е. с синтаксической точки зрения все верно, а с семантической нет. Возможна ситуация и наоборот.

Главная цель построения формальной системы — построить такую формальную систему, в которой теоремы всегда истинны, а нетеоремы всегда ложны, и имеется эффективный алгоритм разрешимости формальной системы.

Ограничения формальных систем

Применение формальных систем на практике имеет ряд ограничений, которые сформулированы в виде самых общих теорем.

Теорема Геделя: Возможны формальные системы, в которых существуют формулы m, такие что ни m ни ¬m не являются доказуемыми.

19

Теорема Тарского: Возможны формальные системы, в которых во всякой интерпретации найдутся выражения истинные, но недоказуемые.

Теорема Черча: Возможны формальные системы, в которых не существует алгоритма, чтобы отличить теоремы от нетеорем.

20