Решение.

а) ;

Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .

г) . Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .

Примем , .

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.

д) . Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем

.

Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .

Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Решение системы:

Переходим к интегрированию

!! .

Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.

Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

, (рис.2)

Решение. Фигура ОМА (рис.4) ограниченная данными линиями, состоит из двух частей ОМВ и ВМА, представляющих собою частные случаи криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой на и примой на . Таким образом искомая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла как сумма двух площадей по формуле

рис. 4.

Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна

.

Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения

вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

, . (рис. 5).

Решение. Объем тела вращения находим по формуле

рис. 5.

Задачи для контрольных работ

Теория пределов. Дифференциальное и интегральное исчисление.

81 – 100.		Найти производные следующих функций:
81.	а) ;			б) ;		в) .
82.	а) ;			б) ;		в) .
83.	а) ;			б) ;		в) .

101-120.		Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы функций:
101.	а)			б)
102.	а)			б)
103.	а)			б)
121-140.		Исследовать функцию и построить ее график
121. ;			122. ;		123. .
141-160.		По условию задачи составить функцию одной независимой переменной и найти ее экстремум. Показать, что этот экстремум и будет наименьшим (наибольшим) значением функции.

141. окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Пример (р) фигуры задан. Каковы должны быть размеры прямоугольника, для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света то есть имело наибольшую площадь?

142. На железной дороге, ведущей с юга на север, стоит город В. Завод А расположены на км южнее города В и на км восточнее железной дороги. Под каким углом к железной дороге надо провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была самой дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в раз дороже, чем по железной дороге?

143. Требуется построить палатку в виде правильной четырехугольной пирамиды. Найти отношение высоты палатки к стороне основания при условии, что при данной площади боковой поверхности объем палатки будет наибольшим.

144. Имеется 200м железной сетки, которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей?

145. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать v литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?

146. Требуется изготовить ведро цилиндрической формы без крышки, вместимостью 8 куб.ед. Найти высоту и диаметр дна ведра, при которых на его изготовление потребуется наименьшее количество материала.

201-220.		Найти неопределенные интегралы
201.	а) ;		б) ;	в) .
202.	а) ;		б) ;	в) .

221-240.	Воспользовавшись соответствующим приложением предельного интеграла к задачам геометрии, найти следующее:
а) площадь фигуры, ограниченную линиями:
221. y = x2 , y = ;		222. y2 = 2x + 1, x – y - 1=0;
223. y = x2 , y = ;		224. y2 = 9x , y = x + 2;
б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями.
231. ,		232. , , , ;

Контрольная работа (из 36 пунктов) предусмотрена для всех

групп 1 курса

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольной работы надо придерживаться указанных ниже правил.

1. Контрольную работу надо выполнить в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента. В конце работы оставьте 3 – 4 чистых страниц, которые, возможно, понадобятся для исправления решений. Если места достаточно, можно в одной тетради поместить две контрольные работы с соблюдением указанных условий.

2. В заголовке работы должны быть разборчиво написана вуз, факультет, курс, специальность, фамилия, имя и отчество, номер контрольной работы, название дисциплины, Ф.И.О. преподавателя и дату выполнения контрольной работы.

3. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задач своего варианта.

4. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, заменив, где надо, общие данные контрольными из своего варианта.

5. Решения задач излагайте аккуратно, объясняя основные действия, выписывая нужные формулы, делая необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы исправьте все ошибки и недочеты, отмеченные рецензентом, вписав исправления на оставленных чистых страницах.

7. На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется самостоятельность выполнения студентом контрольной работы и его готовность к сдаче зачета или экзамена.