Выпуклость в точке перегиба

Пусть на определена функция и график этой функции в каждой точке имеет касательную, не параллельную оси Oy. Говорят, что график выпукл вниз, если всюду на график лежит не ниже любой своей касательной, проведённой на сегменте .

Д остаточное условие выпуклости: Пусть на отрезке дифференцируема и . Тогда на график выпукл вниз.

Возьмём . Тогда . Надо показать, что для . Применим к формулу Тейлора: , где . Отсюда , следовательно, график выпукл вниз.

Пусть и непрерывна в точке ( существует в некоторой окрестности точки ). Тогда в некоторой окрестности точки график выпукл вниз.

Т .к. и существует в некоторой окрестности и непрерывна в точке , т.е. , то при будет , а, значит, на график выпукл вниз.

Точка называется точкой перегиба для , если в точке у графика имеется касательная и на и на график функции имеет выпуклости разного направления.

Необходимое и достаточное условие точки перегиба: Пусть на X непрерывна и во внутренней точке у графика точка перегиба. Тогда .

Если , например, , то в некоторой окрестности точки график выпукл вниз и перегиба нет. Аналогично .

I достаточное условие точки перегиба: Пусть в точке у графика существует касательная и на . Тогда если при переходе через меняет знак, то точка – точка перегиба, а если не меняет, то перегиба нет.

Пусть, например, ­ меняет знак с «+» на «–». Тогда в график выпукл вниз, а в – вверх. Следовательно, точка - точка перегиба.

II достаточное условие точки перегиба: Пусть в точке , а . Тогда точка – точка перегиба.

Пусть . Тогда в точке возрастает, следовательно, на будет , а на будет , т.е. меняет знак с «–» на «+», значит – точка перегиба.

III достаточное условие точки перегиба и экстремума: Пусть в некоторой окрестности точки , , , …, , а в самой точке и пусть , а . Тогда если n – чётное число, то – точка перегиба, а если нечётное, то экстремума.

1. Пусть n – чётное число. Тогда для теорема совпадает с предыдущей и можно считать . Т.к. , а , то либо возрастает, либо убывает в окрестности точки и, следовательно, при переходе через будет менять знак. Разложим теперь по формуле Тейлора с центром в точке : , где . Т.к. при будет и , а при и , то при переходе через точку будет менять знак, а, значит, и будет менять знак, следовательно – точка перегиба.

2. Пусть теперь n – нечётное число. Тогда , где . Т.к. при будет и , а при и , то при переходе через точку будет менять знак, а значит, и будет менять знак, следовательно – точка экстремума.

Чтобы прямая была наклонной асимптотой для графика при , необходимо и достаточно, чтобы и .

1. Пусть . Тогда , где при . Тогда и .

2. Пусть существуют и . Тогда . Обозначив , получим, что при и , т.е. .

Неопределённый интеграл

Простейшие свойства:

1. .

2. .

3. Если и , то .

4. Если , то , где .

5. Если , то .

Если на промежутке X, а функция дифференцируема на промежутке T, и значения лежат в промежутке X, то .

Следует из того, что .

Интегрирование по частям:

Если и дифференцируемы на промежутке X и у функции имеется первообразная, то у функции тоже имеется первообразная, причём или, короче, .

Следует из того, что , и у обеих слагаемых имеется первообразная.

Интегрирование рациональных функций

Если , степень многочлена меньше степени и , где – действительные корни уравнения , а – квадратные трёхчлены без действительных корней, то , где , и – числа (неопределённые коэффициенты, которые можно найти, приведя сумму справа к общему знаменателю и приравняв в числителях справа и слева коэффициенты при одинаковых степенях x).

Дроби вида называются простыми дробями.

, , , . Далее отдельно и , откуда до тех пор, пока .

Интегрирование иррациональных выражений

Рациональное выражение это выражение вида .

. Замена: , , , .

Биномиальные дифференциалы.

, где n, m и p – рациональные числа.

1. Если p – целое, то пусть , а , где и – целые числа и пусть (наименьшее общее кратное) и . Тогда , , и .

2. Если p – нецелое, а – целое, то , , , , где – целое число. После этого

3. Если p – нецелое и – нецелое, а – целое, то всё как в предыдущей части, но последняя замена .

Подстановки Эйлера.

, где .

1. Если , то . Тогда , , , сокращаясь с .

2. Если , то . Тогда , .

3. Если корни уравнения – действительные числа, то , где – один из корней. Тогда .

Тригонометрические интегралы – универсальная подстановка: : , , , , .

Комплексные числа

Мнимой единицей называется число i, главное свойство которого состоит в том, что .

Если , то a – действительная часть, а b – мнимая. . Число называется сопряжённым числу z.

Пусть , . Тогда , , , .

Тригонометрическая форма комплексного числа

, . Угол  называют аргументом комплексного числа z. Тогда – тригонометрическая форма записи комплексного числа. Здесь или . .

Умножение: Пусть , . Тогда .

Замечая, что для , получим, что .

Деление: , .

Формула Муавра (n – натуральное): , . Если , то .

Вычисление корня: Пусть , где ­n – натуральное. Тогда , т.е. ­ , где . Точки, представляющие эти числа лежат в вершинах правильного n-угольника.

. Пусть . Тогда . Тогда (формула Эйлера), а , , . Показательная форма записи комплексного числа: .