Подпоследовательности и частичные пределы

Пусть дана последовательность и последовательность натуральных чисел для . Последовательность называется подпоследовательностью .

Если – последовательность натуральных числе и , то .

Следует из того, что (т.к. каждое слагаемое здесь )

Если , то для любой подпоследовательности будет .

1. Пусть a конечно. Тогда для для будет . Возьмём . Тогда и, следовательно, для будет , т.е. .

2. Пусть . Тогда для для будет . Отсюда для будет и, значит, при , т.е. .

Предел подпоследовательности называется частичным пределом.

Лемма Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Пусть дана , причём . Разделим пополам точкой . Тогда хотя бы в одном из отрезков лежит бесконечно много элементов последовательности . Тот отрезок, на котором это выполняется, обозначим (если оба – левый). Повторим операцию и обозначим тот отрезок, в котором лежит бесконечно много элементов (если оба, то снова левый). Продолжаем процесс. В результате получим последовательность вложенных отрезков , причём длина , и все содержат бесконечно много . По лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка . Построим искомую подпоследовательность. Выберем произвольно из . Затем из выберем . Это возможно, т.к. в лежит бесконечно много . Аналогично выберем из . Получим подпоследовательность . Т.к. и , то и , т.е. сходится.

Если не ограничена, то она обязательно имеет бесконечный частичный предел.

Пусть, например, не ограничена сверху. Тогда для существует бесконечно много элементов (иначе можно было бы найти наибольший из них и взять за верхнюю границу). Построим следующим образом: берём . Потом и т.д. Тогда очевидно, что .

Вывод: у всякой последовательности всегда имеются частичные пределы, хотя бы один.

Число a является частичным пределом тогда и только тогда, когда в любой окрестности числа a лежит бесконечно много элементов .

1. Пусть a – частичный предел последовательности . Тогда . Возьмём . Тогда в интервале будут лежать все , начиная с некоторого. Следовательно, в любой окрестности лежит бесконечно много . Если , то для для в окрестности (или ) будет лежать бесконечно много .

2. Пусть, наоборот, в любой окрестности a лежит бесконечно много членов . Рассмотрим случай конечного a. Возьмём и в окрестности выберем произвольно . Затем в окрестности выберем так, что . Это возможно, т.к. в этой окрестности бесконечно много . Получим подпоследовательность , причём . По теореме о зажатой переменной , т.е. a – частичный предел.

То, что число a является пределом последовательности, означает, что в любой окрестности a лежат все члены последовательности, начиная с некоторого, а то, что число a является пределом подпоследовательности, означает, что в любой окрестности a лежит бесконечно много членов последовательности.

Пусть дана , и непустое множество A – множество её частичных пределов. Тогда называется верхним пределом (обозначается ) а – нижним пределом (обозначается ).

Теорема о принадлежности крайних пределов к частичным: – наибольший, а – наименьший из частичных пределов.

Достаточно доказать, что – частичный (тогда он наибольший).

1. Пусть, сначала, , где a – конечное число. Докажем, что в любой окрестности a лежит бесконечно много членов . Возьмём . По определению . Но y – частичный предел , т.к. y принадлежит множеству частичных пределов A. Значит, на будет лежать бесконечно много . , , т.е. и, следовательно, на при лежит бесконечно много – частичный предел.

2. Пусть . Тогда множество частичных пределов A не ограничено сверху. Отсюда следует, что не ограничено сверху (если бы выполнялось , то все частичные пределы были бы меньше M). Значит, последовательность имеет частичный предел, равный .

Если при всех n, начиная с некоторого, то . Следует из того, что и, т.к. , то и . Аналогично для .