Математический анализ

Лектор: Юрченко Александр Максимович

I семестр – осенний семестр 2002 года

Таблица эквивалентных функций (при ):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . .

Таблица интегралов . . . . . . . . . . . . . . . .

Действительные числа

Действительным числом называется бесконечная последовательность цифр с одной запятой между ними и знаком «+» или «–» перед (при этом числа с бесконечным числом нулей в периоде невозможно отличить от соответствующих чисел с бесконечным количеством девяток в периоде).

и будут равны, если , , , …, и знаки совпадают.

Числа со знаком «+» называются положительными, со знаком «–» – отрицательными, а число - нулём.

Неравенства: Всякое положительное число больше нуля, всякое отрицательное – меньше. Пусть , . Говорят, что , если либо , либо , а , либо , , а и т.д. (т.е. для , ).

Если , то .

Если  и  отрицательны, то , если . Если , а , то . Если и , то .

Пусть дано числовое множество A. Число M называется верхней границей множества A, если для будет выполнено условие . Если у A существует верхняя граница, то A называется ограниченным сверху.

Пусть множество A ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ называется верхней гранью и обозначается .

Теорема о точной грани: Если множество A не пусто и ограничено сверху, то у него существует точная верхняя грань.

Пусть множество A не пусто и ограничено сверху, а B – множество всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Если и , то из определения числа, ограничивающего сверху множество, следует, что . Следовательно, существует такое число , что для всех a и b будет выполняться неравенство . Неравенство , означает, что  ограничивает сверху множество A, а неравенство , – что число  – наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Следовательно, .

Свойства абсолютных величин: для любых a и b выполняются неравенства , .

Последовательности и их пределы

Последовательностью называется функция, область определения которой – совокупность натуральных чисел.

Последовательность ограничена сверху, если такое, что для , снизу, если такое, что для , ограничена, если такое, что для .

для для будет .

называется бесконечно малой, если .

Пример: , т.е. для будет .

Свойства бесконечно малой последовательности:

1. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Пусть – бесконечно малая. Тогда для будет . Введём . Тогда для будет . Следовательно, ограничена.

2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых будет бесконечно малой.

Сначала докажем для двух бесконечно малых. Пусть и – бесконечно малые. Возьмём . Тогда и такие, что для будет и будет . Введём . Тогда для будет . Следовательно, – бесконечно малая.

Аналогично и т.д.

3. Разность бесконечно малых будет бесконечно малая.

Следует из того, что и, следовательно, для тех же  и N, что и в прошлой теореме, будет для .

4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую будет бесконечно малая.

Пусть – бесконечно малая, а – ограниченная. Тогда такое, что (следует из определения ограниченности). Возьмём . Тогда, т.к. – бесконечно малая, то для будет . Тогда для будет и . Следовательно, – бесконечно малая.

5. Если – бесконечно малая и , то .

Пусть и . Возьмём . Тогда, по определению бесконечно малой для будет , т.е. или , что невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему.

называется бесконечно большой, если , т.е. для для будет .

Если – бесконечно большая, то хотя бы с некоторого n определена последовательность и эта последовательность бесконечно малая.

1. Возьмём, например, . Тогда для для определена.

2. Возьмём . Тогда, т.к. – бесконечно большая, то для будет . Тогда для будет – бесконечно малая.

Число является пределом для последовательности, если вне её сколь угодно малой окрестности лежит конечное число членов последовательности.

Если , то .

Возьмём . Тогда для будет .

тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая такая, что .

Теорема о единственности предела последовательности: Если и , то .

Пусть и . Тогда существуют бесконечно малые и и . Так как , то (при ), .

Сходящаяся последовательность ограничена.

Т.к. , то , где – бесконечно малая. Но бесконечно малая ограничена, т.е. такое, что для .

Если , то хотя бы с некоторого n определена и ограничена.

Т.к. , то . Возьмём . Тогда, т.к. , то такое, что для будет , т.е. . Отсюда при всех будет определена и .

Если и , то и все , начиная с некоторого n.

Возьмём . Тогда при , т.е. .

Если хотя бы с некоторого номера и , то .

Пусть . Тогда для будет – противоречие.

При предельном переходе неравенство может превратиться в равенство. Пример: , .

Если и , то .

В формулировке теоремы достаточно, чтобы неравенство выполнялось, начиная с некоторого номера.

Если и существуют конечные и , то .

Так как , то и . По теореме , т.е. , откуда .

Теорема о зажатой переменной: Пусть для , начиная с некоторого, будет и . Тогда .

Пусть – это такое число, что для будет . Возьмём . Т.к. , то для будет . Аналогично, т.к. , то для будет . Обозначим . Тогда для будут выполнены все три двойных неравенства: , т.е. или , что равносильно , ч.т.д.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Пусть существуют конечные и . Тогда существуют пределы:

1. .

2. .

3. Если , то .

Пусть , а . Тогда , , где и – бесконечно малые.

1. , откуда , т.е. .

2. Аналогично  .

3. .

Монотонные последовательности и их пределы

Последовательность называется неубывающей, если для будет ; возрастающей, если для будет .

Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу, всякая невозрастающая – сверху.

Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она имеет конечный предел

Пусть не убывает и ограничена сверху. Тогда по теореме о точной грани существует конечный . Докажем, что . Возьмём . По определению . Тогда для будет . Следовательно, для будет , т.е. .

Для справедливости теоремы достаточна монотонность, начинающаяся с некоторого номера.

Если не убывает и не ограничена сверху, то .

Возьмём . Т.к. не ограничена сверху, то , т.е. для .

Критерий сходимости монотонной последовательности: Монотонная последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она ограничена.

Существует конечный предел последовательности . Этот предел называется числом e и он равен 2.71828182845905…

1. Используем формулу бинома Ньютона: .

2. Покажем, что возрастает. Напишем и сравним с : . В каждое слагаемое больше, чем в , т.к. и в есть лишнее положительное слагаемое. Следовательно, .

3. Покажем, что ограничена сверху: (т.к. ) (геометрическая прогрессия) .

4. Отсюда, т.к. и , то существует конечный . Видно, что .

Теорема о вложенных отрезках: Пусть дана последовательность вложенных отрезков , причём длина при . Тогда существует единственная точка для и .

1. Докажем, что точка C существует. Заметим, что , т.е. не убывает. Кроме того, для , т.е. ограничена сверху числом . По теореме об ограниченной последовательности, . Т.к. , то . При этом , т.е. для .

2. Докажем, что C – единственная точка. Пусть существует другая точка , которая принадлежит отрезку при . Тогда для . Значит, для длина длины . Поэтому не может длина , что противоречит условию.