Контрольная работа 3

Задание 1

Найти неопределённые и определённые интегралы:

; ; ; .

Решение

1)

.

2)

.

.

.

.

3)

.

4)

.

Задание 2

Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение

Воспользуемся предельным признаком сравнения: если и существует конечный предел то и ведут себя одинаково.

Для решаемой задачи . Выберем Известно, что расходится.

Так как , и расходится, то, следовательно, расходится и .

Задание 3

Исследовать на сходимость числовые ряды , используя достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, необходимые признак и свойства сходящихся рядов.

1) .

Решение

1) Сравним данный знакоположительный ряд с рядом который расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:

Оба ряда ведут себя одинаково, следовательно, исследуемый ряд расходится.

2) . Воспользуемся признаком Даламбера: , .

Так как , то исследуемый ряд сходится.

3) Воспользуемся радикальным признаком Коши:

так как , то исследуемый ряд сходится.

4) . Воспользуемся радикальным признаком Коши: так как ,

то исследуемый ряд расходится.

Задание 4

Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение

Если функция задана на интервале , то её ряд Фурье имеет вид ,

где , , .

Заданная функция определена на интервале , следовательно, и ряд Фурье для функции будет иметь вид ,

где , , .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье для заданной функции.

,

. Проинтегрировав по частям, получим

.

. Проинтегрировав по частям, получим

.

Таким образом

.

Задание 5

Для функции в точке найти:

1) градиент функции и его модуль.

2) производную функции по направлению вектора .

Решение

1) Градиент функции – это вектор

.

Для решаемой задачи , , и, следовательно,

.

Для точки

.

.

2) Производная функции по направлению вектора равна , где - направляющие косинусы вектора .

Найдём .

Так как найдены ранее, то

.

Для точки .

Задание 6

Для функции в точке записать:

1) уравнение касательной плоскости;

2) полный дифференциал первого порядка;

3) полный дифференциал второго порядка.

Решение

Если функция z задана в явной форме, то есть , то уравнение касательной плоскости к поверхности , в точке имеет вид .

Для решаемой задачи , , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид: или .

2) Полный дифференциал первого порядка для функции находится по формуле: .

Для заданной функции .

Для точки получим .

3) Полный дифференциал второго порядка для функции находится по формуле: .

Найдём.

Следовательно, .

Для точки .

Задание 7

Найти и для функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств . Сделать рисунок области D.

Решение

Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области.

Изобразим заданную область

Найдём стационарные точки функции из системы .

Для заданной функции система примет вид или .

Решая систему, находим координаты стационарной точки . Эта точка лежит на границе области .

Исследуем функцию на границе области .

На ОА и заданная функция становится функцией одного аргумента x: ( ).

Найдём стационарные точки функции : ; при . Точка принадлежит ОА.

На ОВ и заданная функция становится функцией одного аргумента у: . Найдём стационарные точки функции : ; при . Точка принадлежит ОВ.

На АВ и заданная функция становится функцией одного аргумента :

.

при . При . Эта стационарная точка (1;1) совпадает с точкой .

Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций , и .

Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:

, , ,

, ,

.

Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции , наибольшее значение .