Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский гуманитарный институт им. Е.Р. Дашковой

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Контр задания_.doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.07.2019

Размер:

3.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Векторный анализ и элементы теории поля

Литература [2], §§ 8.5-8.10, 8.13, 8.14, 8.19; [3], §§ 2.1-2.4, 3.2, 3.3, 3.8; [6], часть 1, §§ 1-8 гл.6, §§ 1, 2, 5, 6, 10 гл.9.

44. Найти область определения функции:

а) ; б) .

Указание. Учесть то, что логарифмы отрицательных чисел и нуля не существуют.

Ответ: а) Часть плоскости, лежащая ниже параболы ;

б) Полосы , лежащие в правой полуплоскости.

45. Найти линии (или поверхности) уровня следующих скалярных полей: а) ; б) ; в) ;

г) .

Указание. Линии и поверхности уровня описываются уравнениями и соответственно.

Ответ: а) - семейство гипербол. При - две прямые ; б) -концентрические окружности, радиуса ;

в) - однополостные (при С>0) и двуполостные (при С<0) гиперболоиды вращения; при С=0-конус; г) - параболоиды вращения.

46. Найти дивергенцию и ротор векторного поля:

а) ; б) .

Указание. Дивергенция векторного поля вычисляется по формуле . Ротор векторного поля вычисляется по формуле .

Ответ: а) ;

б) .

47.Вычислить повторные интегралы:

а) ; б) .

Указание. Последовательно вычислить внутренний и внешний интегралы.

Ответ: а) ; б) .

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

Литература [3], §§ 1.1-1.3, 1.21-1.23; [6], часть 1, §§ 1-4, 10, 12 гл.8.

48. Найти общее решение уравнений:

а) ; б) ; в) .

Указание. Воспользоваться методикой решения уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных соответственно.

Ответ: а) ; б) ; в) .

49. Найти общее решение уравнения: а) ;

б) ; в) .

Указание. Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , в зависимости от корней его характеристического уравнения , имеет вид: а) если и - действительные и различные, то ;

б) если , то ; в) если , то .

Ответ: а) ; б) ;

в) .

Численные методы

Литература [2], §§ 7.6-7, 9.14; [3], § 1.24; [6], часть 1, § 12 гл.4, § 20 гл.8, часть 2, гл. 7.

50. Доказать, что с помощью рекуррентной формулы можно вычислить с любой точностью. Вычислить: а) ; б) с точностью до .

Указание. Убедиться, что последовательность, заданная этой рекуррентной формулой, сходится к , монотонно убывая. Выбрать за нулевое приближение, например , и вычислять значения до тех пор, пока , то есть в три знака после запятой будут верные.

Ответ: а) 1,732; б) 1,414.

51. Вычислить с точностью до интегралы: а) ; б) .

Указание. Разложить подынтегральную функцию в ряд и ряд почленно проинтегрировать. Учесть, что погрешность вычислений в знакочередующемся ряде не превышает по абсолютной величине первого из отброшенных членов ряда.

Ответ: а) 0;498; б) 0,480.

Функции комплексной переменной

Литература [3], §§ 6.1-6.3, 6.6, 6.10; [6], часть 2, §§ 1, 2, 6, 7 гл. 1.

52. Найти производную функции, проверить, является ли функция аналитической: а) ; б) .

Указание. Представить функцию в виде и проверить выполнение условий Коши-Римана: , . Если условия Коши-Римана выполняются в некоторой точке (области), то производную можно найти, например, по формуле . Если производная существует не только в точке, но и окрестности этой точки, то функция является аналитической в этой точке.

Ответ: а) Производная существует только в одной точке и ; функция не является аналитической ни в одной точке;

б) Производная существует всюду, исключая точку и ; функция аналитическая всюду, исключая точку .

53. В окрестности точки разложить в ряд Тейлора или Лорана функцию: а) ; б) .

Указание. Определить особые точки функции и, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получить требуемые разложения. Если ряд не содержит отрицательных степеней , то это ряд Тейлора и он сходится в круге, если же ряд содержит отрицательные степени , то это ряд Лорана и он сходится в кольце.