Элементы функционального анализа
Литература [1], §§ 16,17,20; [2], §§ 1.2;1.3;1.11;3.1;8.2;8.11; [3], §4.8; [6], часть 1, §§ 15-18 гл.1, §1 гл.2.
27. Выполнить
указанные операции над множествами
,
и
(подмножествами множества N
натуральных чисел), если
,
,
:
а)
,
;
б)
,
.
Указание.
Объединение (сумма)
множеств
,
и
- это множество, элементами которого
являются элементы множеств или
,
или
,
или и
и
.
Например, для
предлагаемой задачи
.
Дополнение
(не
)-
это множество, элементами которого не
являются элементы множества
.
Для предложенной задачи
.
Пересечение
(произведение)
множеств
и
-
это множество, элементами которого
являются общие элементы множеств
и
.
Например,
.
Прямое произведение
-это
множество упорядоченных пар
.
Например,
.
Ответ: а)
,
;
б)
,
.
28. Найти угол между
гиперплоскостями
и
пространства
.
Указание.
Нормали гиперплоскостей
и
.
Косинус угла между
ними
.
Ответ:
.
29. Убедиться в том,
что матрицы
,
,
,
образуют базис в линейном пространстве
матриц размерности
и найти координаты матриц:
а)
;
б)
в этом базисе.
Указание.
Убедиться, что равенство
выполняется только при
и из равенства
найти координаты
.
Ответ: а)
;
б)
.
30. В треугольнике,
сторонами которого являются многочлены
и
,
,
найти длины сторон и косинусы углов
между сторонами, если скалярное
произведение векторов
и
определяется формулой:
а)
;
б)
.
Указание.
Третья сторона треугольника
.
Углы между сторонами треугольника
находятся по формуле
,
где
,
-длины
сторон треугольника.
Ответ:
а)
б)
Введение в математический анализ
Литература [2], §§ 2.1-2.5, 3.1-3.5, 3.8, 3.9; [6], часть 1, §§ 2-8 гл.2.
31. Пользуясь только
определением предела последовательности,
доказать, что последовательность
имеет своим пределом число а.
Найти номер
такой, что
.
а)
;
б)
.
Указание.
По определению предела последовательности,
для любого
и всех
,
начиная с некоторого
должно выполняться неравенство
.
Подставив в это неравенство выражение
и значения а
и
и решив неравенство, найдем
.
Ответ: а)
;
б)
.
32. Найти область
определения D
функции: а)
;
б)
.
Указание.
Использовать ограничения на область
определения основных элементарных
функций:
существует, если
,
существует, если
,
существует, если
.
Ответ: а)
;
б)
.
33. Найти предел
функции: а)
;
б)
.
Указание.
Воспользоваться первым и вторым
замечательными пределами:
и
.
Ответ: а) 0; б)
.
34. Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:
а)
;
б)
.
Указание. Точки разрыва элементарных функций соответствуют значениям аргумента, при которых функция не определена. Для определения характера точки разрыва необходимо найти односторонние пределы функции.
Ответ: а) Точка
разрыва
.
.
Точка разрыва второго рода.
б)
-
точка устранимого разрыва,
-точка
разрыва второго рода.