Линейная алгебра

Литература [1], §§ 1-4, 15; [6], часть 1, §§ 3, 10-14 гл.1, §§ 1-6 гл.7.

5. Вычислить определители: а) ;

б) .

Указание. Определитель второго порядка вычисляется по формуле .

Ответ: а) .

6. Решить: а) неравенство >0;

б) уравнение =0.

Указание. Определитель третьего порядка раскрывается по формуле

.

Ответ: а) ; б) .

7. Вычислить определители путем приведения их к треугольному виду:

а) ; б) .

Указание. Определитель называется треугольным, если его элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Такой определитель равен произведению элементов, расположенных в главной диагонали. Для приведения определителя к треугольному виду сначала получают нули в первом столбце. Для этого, например, при вычислении , первую строку складываем с третьей, результат записываем на месте третьей строки; первую строку, умноженную на (-3), складываем с четвертой, результат записываем на месте четвертой строки.

Получаем . Далее, вторую строку, умноженную на (-4) и на 8, складываем соответственно с третьей и четвертой строками, и результаты записываем на месте третьей и четвертой строк. Получаем . Теперь осталось только третью строку, умноженную на , сложить с четвертой и результат записать на месте четвертой строки. Получим определитель треугольного вида.

Ответ: а) ; б) .

8. Решить систему методом Гаусса .

Указание. Выписать расширенную матрицу системы, то есть матрицу системы вместе со столбцом свободных членов системы. Привести расширенную матрицу системы к треугольному виду (см. предыдущий пример). После проведения преобразований, получим . Преобразованной матрице соответствует система уравнений . Из этой системы последовательно найти .

Ответ: .

9. Найти значения параметра а, при которых однородная система уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение:

а) ; б) .

Указание. Однородная система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю.

Ответ: а) ; б) ;

10. Даны матрицы и . Найти:

а) А+В и АВ; б) В+А и ВА.

Указание. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности при этом, если С=А+В, то . Произведение АВ=С имеет смысл, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом .

Ответ: а) А+В не имеет смысла, ;

б) В+А не имеет смысла, .

11. Вычислить: а) , где ;

б) , где .

Указание. В выражении под единицей понимается единичная матрица , поэтому .

Ответ: а) ; б) .

12. Линейный оператор задан соотношением:

а) ;

б) , где . Найти матрицу А оператора в базисе .

Указание. Чтобы найти матрицу линейного оператора, необходимо найти результат его действия на базисные векторы . Координаты полученных векторов составят первый, второй и третий столбцы искомой матрицы. В нашем случае .

Ответ: а) ; б) .

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Литература [1], §§ 5-13,24-26; [6], часть 1, §§ 4-9 гл.1.

13. При каких α и β векторы: а) и ;

б) и коллинеарные?

Указание. Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, поэтому .

Ответ: а) ; б) .

14. Вектор составляет с осью угол , а с осью угол . Найти угол между осью и вектором и координаты вектора , если: а) , - угол тупой; б) , - угол острый.

Указание. Направляющие косинусы удовлетворяют равенству . Координаты вектора выражаются через его модуль и направляющие косинусы: , , .

Ответ: а) ;

б) .

15. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если:

а) , ;

б) , .

Указание. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле , где , .

Ответ: а) 6; б) .

16. Найти модуль векторного произведения , если:

а) ;

б) .

Указание. Вычислить сначала координаты векторов и , а затем воспользоваться формулой для вычисления векторного произведения векторов и , заданных координатами, .

Ответ: а) ; б) .

17. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, если:

а) и ;

б) .

Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и, найдя модули этих векторов, проверить, выполняется ли теорема Пифагора, или, найдя скалярные произведения каждой пары векторов, выяснить, есть ли среди векторов перпендикулярные.

Ответ: а), б) Утверждения верны.

18. Вычислить внутренние углы треугольника , если:

а) ;

б) .

Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами .

Ответ: а) , ;

б) , , .

19. При каких значениях параметра векторы и будут компланарными, если:

а) ;

б) ?

Указание. Найти смешанное произведение векторов, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

Ответ: а) ; б) .

20. Установить, что три плоскости , , имеют только одну общую точку и найти координаты этой точки.

Указание. Решение системы и будет являться точкой пересечения заданных плоскостей.

Ответ: .

21. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла: а) , б) ,

в) .

Указание. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях и вычислить площади прямоугольных треугольников.

Ответ: а) 240; б) 480; в) 400.

22. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей отрезки и : а) на координатных осях и ; б) на координатных осях и .

Указание. По условию задачи для пункта а) точки и лежат в искомой плоскости, следовательно, вектор также лежит в этой плоскости. Вектор является вектором нормали искомой плоскости. Если вектор - нормаль, а точка - точка плоскости, то уравнение плоскости .

Ответ: а) ; б) .

23. Определить, лежит ли точка внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

а) , , ;

б) , , .

Указание. Найти координаты вершин треугольника и уравнения сторон треугольника. Записать систему неравенств, определяющую треугольник. Выяснить: удовлетворяют ли координаты заданной точки системе неравенств.

Ответ: а) вне треугольника; б) внутри треугольника.

24. Найти угол между прямыми:

а) и , если : и : ;

б) и , где - прямая перпендикулярная плоскости .

Указание. Под углом между прямыми понимают угол между их направляющими векторами.

Ответ: а) ; б) .

25. Найти проекцию точки на плоскость:

а) ; б) .

Указание. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданной плоскости.

Ответ: а) ; б) .

26. Определить тип кривых, заданных уравнениями:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Указание. Выделить полные квадраты переменных.

Ответ: а) - окружность;

б) - эллипс;

в) - гипербола;

г) - парабола.