Коды Рида-Маллера.

Достоинства: можно получить большое Хэммингово расстояние и легко поддаются декодированию.

Для любых m и r<m существует код Рида-Маллера, для которого:

n=2m – разрядность кодового вектора,

k=1+C(1)(m)+…+C(r)(m) – число информационных бит,

n-k=1+C(1)(m)+…+C(m-r-1)(m) – число проверочных бит,

d=2^(m-r) – минимальный вес кодового слова.

Рассмотрим следующую совокупность векторов над полем из двух элементов (0 и 1).

Пусть V₀ – вектор длины 2^m, все компоненты которого равны 1, V₁,V₂,…, V_m – строки матрицы, столбцами которой являются все возможные двоичные наборы длины m. Определим следующим образом векторное произведение двух векторов:

u=(a₁,a₂,…,a_n), v(b₁,b₂,…,b_n)

uv=(a₁b₁,a₂b₂,…,a_nb_n).

Рассмотрим совокупность векторов, образованную произведениями векторов v_i, взятых по два, три, четыре и т.д. вплоть до m.

v₀ = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

v₄ = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 )

v₃ = ( 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 )

v₂ = ( 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 )

v₁ = ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )

v₄v₃ = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 )

v₄v₂ = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 )

v₄v₁ = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 )

v₃v₂ = ( 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 )

v₃v₁ = ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 )

v₂v₁ = ( 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )

v₄v₃v₂= …

v₄v₃v₁= …

v₄v₂v₁= …

v₃v₂v₁= …

v₄v₃v₂v₁= …

Код Рида-Маллера порядка r определяется как код, базисом которого являются вектор v₀,v₁,…,v_m и все векторные произведения из r или меньшего числа этих векторов. Очевидно, что скалярное произведение двух векторов равно 0, если число единиц в векторном произведении четно и равно 1, если оно нечетно.

Для любого вектора v v²=v. Единственным произведением, содержащим нечетное число единиц, является произведение всех векторов v₁,…,v_m. Векторное произведение любого вектора из базиса кода порядка r на любой вектор из базиса кода порядка m-r-1 является вектором из базиса кода порядка m-1 и в нем содержится четное число единиц. Таким образом, любой вектор, принадлежащий коду порядка r, ортогонален любому базисному вектору, являющемуся произведением m-r-1 или меньшего числа векторов v₁,…,v_m. Из этого также следует, что код Рида-Маллера порядка r является нулевым пространством матрицы, образованной векторами v₀,v₁,…,v_m и всеми векторными произведениями этих векторов в количестве не более чем m-r-1, взятыми в качестве ее строк.

Важнейшая особенность кодов Рида-Маллера состоит в том, что декодирование для них может быть проведено достаточно простым способом.

Задача состоит в том, чтобы определить значения a по полученному вектору, несмотря на возможные ошибки. Очевидно, что сумма первых четырех компонент как элементов поля из двух элементов (0 и 1) равна нулю для всех базисных векторов, за исключением v₂v₁. Таким образом, если ошибок не было, то:

b₁ +b₂ +b₃ +b₄ = a₂₁

b₅ +b₆ +b₇ +b₈ = a₂₁

b₉ +b₁₀ +b₁₁ +b₁₂ = a₂₁

b₁₃+b₁₄ +b₁₅ +b₁₆ = a₂₁

В общем случае можно записать 2^(m-r) независимых соотношений. Ошибки могут сделать некоторые из этих соотношений несправедливыми, но каждая ошибка влияет только на одно из соотношений. Следовательно, если выбрать a₂₁ равным величине, появляющейся наиболее часто в выражениях, то при любой комбинации из 2^(m-r-1)-1 или меньшего числа ошибок значение a₂₁ будет декодировано правильно. Аналогичным образом определяются a₃₁, a₃₂, a₄₁, a₄₃. После того как они определены, выражение

a₄₃v₄v₃+a₄₂v₄v₂+a₄₁v₄v₁+a₃₂v₃v₂+a₃₁v₃v₁+a₂₁v₂v₁

может быть вычтено из полученного вектора. Тогда, если ошибок не было, останется вектор

r’=a₀v₀+a₄v₄+a₃v₃+a₂v₂+a₁v₁=(b₁’,b₂’,…,b_n’),

так, что следующая совокупность коэффициентов может быть определена аналогичным путём:

a₁=b₁’+b₂’ a₁=b₅’+b₆’

a₁=b₃’+b₄’ a₁=b₇’+b₈’

a₁=b₉’+b₁₀’ a₁=b₁₁’+b₁₂’

a₁=b₁₃’+b₁₄’ a₁=b₁₅’+b₁₀’

Идентичные уравнения можно записать для a₂, a₃, a₄. Если предположить, что ошибок не было, то

r’-a₄v₄-a₃v₃-a₂v₂-a₁v₁=a₀v_0.

Этот вектор должен быть нулевым, если a₀=0 и единичным, если a₀=1, поэтому a₀ нужно выбирать равным тому из этих элементов, который появляется в векторе чаще.

Поскольку при такой системе декодирования могут быть исправлены все комбинации из 2^(m-r-1)-1 или меньшего числа ошибок, то минимальное расстояние должно быть равно самое меньшее 2(2^(m-r-1)+1)=2^(m-r)-1, а так как все кодовые векторы имеют четный вес, то оно должно быть равно самое меньшее 2^(m-r).

Схему для определения того, суммы каких именно символов полученного вектора должны быть равны заданному информационному символу, можно описать следующим образом. Расположим символы в каждом из первоначальных векторов v₁,…,v_m так как показано на рисунке, и назовем компоненту, соответствующую j-ому нулю в векторе v_i, и компоненту, соответствующую j-ой единице в векторе v_i, парными компонентами вектора v_i. Тогда 2^(m-1) сумм парных компонент v_i используются для определения a_i. Далее, каждая из 2^(m-2) сумм четырех компонент, используемых для определения a_ij, образуется некоторыми двумя парными компонентами вектора v_i и парными для этих уже выбранных компонент компонентами вектора v_j. Аналогично каждое соотношение, определяющее a_ijk, представляет собой сумму некоторых парных компонент вектора v_i плюс сумму компонент вектора v_j, парных к этим компонентам, и сумму компонент вектора v_k, парных к уже выбранным компонентам, так, что в каждой сумме получается всего 8 слагаемых. Этот процесс можно продолжить аналогичным образом.