Синдромное декодирование.

Предположим, что линейный код является нулевым пространством матрицы H размерности (n-k) x n. Для любого любого полученного на выходе вектора v вектор s=vH^T с n-k компонентами называется синдромом. Поскольку рассматриваемый код – это нулевое пространство матрицы H, то некоторый вектор является словом тогда и только тогда, когда его синдром равен нулю.

Теорема 4. Два вектора v1 и v2 принадлежат одному и тому же смежному классу тогда и только тогда, когда их синдромы равны.

Доказательство: Два элемента группы v₁ и v₂ принадлежат одному и тому же смежному классу тогда и только тогда, когда (-v₂)+v₁=v₁-v₂ есть элемент подгруппы, которой в данном случае является кодовое векторное пространство. Если кодовое пространство – это нулевое пространство матрицы H, то вектор v₁-v₂ принадлежит кодовому пространству тогда и только тогда, когда

(v₁-v₂)H^T=0.

Поскольку для умножения матриц справедлив дистрибутивный закон, то

(v₁-v₂)H^T=v₁H^T-v₂H^T=0.

Таким образом, вектор v₁-v₂ является кодовым вектором тогда и только тогда, когда синдромы векторов v₁ и v₂ равны.

Процесс декодирования может быть значительно упрощен за счет использования модифицированной таблицы декодирования. Таблица строиться так, что в ней приводятся образующие смежных классов и синдромы для каждого из 2^n-k смежных классов. После того как получен вектор, вычисляется его синдром. Затем то таблице отыскивается образующий смежного класса, являющийся предполагаемым набором ошибок и вычитается из полученного вектора. В результате образуется предположительно исходный кодовый вектор.

Синдромное декодирование позволяет сократить объем памяти при декодировании. Так, для кода (100,80) необходимо в случае декодировании по лидеру смежного класса 2¹⁰⁰ входов, а в случае синдромного декодирования 2²⁰ входов.

Коды Хэмминга.

Двоичный код Хэмминга удобнее всего задавать при помощи его проверочной матрицы. Проверочной матрицей кода Хэмминга является матрица, столбцами которой являются все ненулевые наборы разрядности m.

Поскольку сумма любых двух столбцов этой матрицы не равна нулю и поскольку единственным отличным от нуля скаляром поля GF(2) является «1», то не существует ни одной нулевой линейной комбинации из двух столбцов матрицы H. Следовательно, нулевое пространство этой матрицы имеет минимальный вес равный 3, и является кодом, исправляющим все одиночные ошибки. Другие важные параметры кода Хэмминга:

- длина кодового вектора : 2m-1;

- число проверочных символов : m;

- число информационных символов : 2^m-1-m/

Поскольку все 2^m-1 векторов, задающих одиночные ошибки принадлежат различным смежным классам, то этими смежными классами и кодовым пространством исчерпываются все 2^m смежных классов.

Таким образом, код Хэмминга является совершенным. Линейный код, совокупность образующих смежных классов которого в точности совпадает с совокупностью всех последовательностей веса t или меньше, называется совершенным.

Можно построить код Хэмминга любой длины n, Если выбрать матрицу H для наименьшего значения m, удовлетворяющего условию 2^m-1>=n, а затем отбросить все лишние столбцы, оставив n столбцов. При этом можно выбрать столбцы таким образом, чтобы получился квазисовершенный код.

Добавлением к двоичному коду Хэмминга одного проверочного соотношения, проверяющего на четность совокупность всех символов кода можно получить код с минимальным весом, равным 4, т.е. так называемый расширенный код Хэмминга.

Декодирование такого кода осуществляется следующим образом:

1. Если синдром равен 0, то предполагается, что ошибок не было.

2. Если проверка по всем символам, соответствующая последней строке матрицы H дает «1» (проверка на четность), то предполагается, что произошла одна ошибка и слово можно исправить.

3. Если проверка на четность дает «0», а хотя бы один из остальных проверочных символов равен «1», то обнаружена неисправимая ошибка.