Связь силы и потенциальной энергии.

Потенциальная энергия является очень информативным понятием, поскольку позволяет не только вычислять работу, но и определять силу, которая действует на материальную точку. Покажем, как это можно сделать. Для этого предположим, что частица смещается на малое расстояние вдоль какой-нибудь оси. Для определенности выберем в качестве такой оси, ось X. Запишем работу при перемещении частицы из точки с координатами в точку с координатами :

(28)

Разделив обе части на и устремив получим:

(29)

Здесь введено обозначение для частной производной. Частная производная это производная по одной из переменных, когда остальные переменные считаются постоянными. Повторяя эту процедуру для каждой из осей можно написать выражение для силы:

(30)

Символ называется набла, а вектор , который получается из скалярной функции согласно правилу:

(31)

называется градиентом скалярной функции . Т.е. можно сказать, в соответствии с (30) что сила равна минус градиенту от потенциальной энергии. Вычислим, пользуясь формулой (30) силы по известным потенциальным энергиям для рассмотренных выше взаимодействий:

Однородная сила тяжести:

(32)

Упругая сила:

(33)

Гравитационные и Кулоновские силы:

Запишем потенциальную энергию в общем виде. Имеется в виду, что не будем выбирать систему отсчета, для которой одна из частиц находится в начале координат. Тогда, то согласно (26) и (27) потенциальную энергию можно записать в виде:

(34)

и для гравитационных сил , а для Кулоновских и мы учли, что в формулах (26) и (27) означает вектор, проведенный от одной частицы к другой. Из этого выражения видно, что потенциальная энергия зависит только от модуля разности радиус-векторов взаимодействующих частиц. При этом сила, которая действует на соответствующую частицу, равна:

(35)

Поскольку потенциальная энергия зависит только от модуля разности радиус векторов то потенциальную энергию можно дифференцировать как сложную функцию:

(36)

Отсюда, получаем для силы, с которой частица 2 действует на частицу 1:

(37)

Это выражение мы уже писали раньше, а сейчас поясним, как был продифференцирован модуль разности радиус-векторов:

(38)

Эти выкладки поясняют, откуда получилось выражение (37). Согласно проведенным выкладкам сила, с которой частица 1 действует на частицу 2 получается из (37) заменой индексов :

(37)

Здесь можно заметить, что если потенциальная энергия зависит только от модуля разности радиус-векторов взаимодействующих точек, силы, действующие на частицы равны:

	(38a)
	(38b)

Относительно такой зависимости потенциальной энергии от радиус-векторов взаимодействующих частиц, можно сделать следующие замечания:

Силы, к которым приводит потенциал такого вида, автоматически удовлетворяют третьему закону Ньютона (см. (38a) и (38b)).

Такой вид потенциала обеспечивает однородность и изотропию пространства.

Действительно если нет выделенного направления, то потенциал может зависеть только от модуля расстояния между частицами.

Если сдвинуть обе частицы на один и тот же произвольный вектор , то при таком преобразовании (оно записывается в виде ) относительное расстояние между частицами не меняется , а значит и не меняется величина потенциальной энергии. Т.е. Потенциальная энергия будет одинаковой где бы не находилась частица 1, если частица 2 находится на одном и том же расстоянии от неё.