Глава 2. Характеристики и свойства типовых линейных звеньев

2.1. Типовые линейные звенья

Для исследования поведения САУ в переходных режимах целесообразно рассматривать отдельные элементы ее только с точки зрения динамических свойств независимо от их конкретного исполнения и физической природы происходящих в них явлений. При представлении САУ в виде структурных схем такие элементы называют звеньями. Среди звеньев линейных систем можно выделить простейшие типовые, для которых характерно следующее:

• наличие одного воздействия на входе и одной величины на выходе;

• односторонняя передача воздействия с входа на выход;

• переходный процесс описывается линейным дифференциальным (в частном случае алгебраическим) уравнением не выше второго порядка с постоянными коэффициентами.

По виду дифференциального уравнения различают следующие типы звеньев:

• безынерционное (усилительное);

• инерционное первого порядка (апериодическое);

• колебательное и инерционное второго порядка;

• дифференцирующее;

• интегрирующее (астатическое);

• интегродифференцирующее;

• запаздывающее.

В литературе встречаются и несколько отличные от указанных типы и названия звеньев. Для типовых звеньев применимы рассмотренные в 1.7 понятия характеристик САУ.

2.2. Уравнения, передаточные функции и примеры реализации типовых звеньев

а) Безинерционные:

Звено принято называть безинерционным, если связь между входом и выходом звена определяется алгебраическим уравнением вида

хвых(t) = k∙хвх(t)

(2.1)

где k – коэффициент передачи или усиления.

Уравнение в операторной форме:

хвых(р) = k∙хвх(р)

(2.2)

Передаточная функция:

W(p) = k = хвых(р)/ хвх(р)

(2.3)

Согласно формуле (1.10) ,т.е. степени характеристического полинома D(p) и комплексного коэффициента передачи K(p) равны 0 (n=0 и m=0). Так как условие n≥m выполняется, то система технически реализуема.

Переходная характеристика.

Она определяется по формуле 1.15

.

Так как характеристическое уравнение (D(p)=1)=0 корней p_k не имеет, то необходимо найти только значения комплексного коэффициента передачи при 0 (K(0)) и характеристического полинома при 0 (D(0)).

; .

Тогда

(2.4)

Графики единичной функции и переходной характеристики представлены на рис. 2.1.

а)	б)
Рис 2.1. Графики единичной функции и переходной характеристики безинерционного звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

W(jω) = k

(2.5)

- амплитудночастотная характеристика:

(2.6)

- фазочастотная характеристика:

(2.7)

Графические представления частотных характеристик безинерционного звена приведены на рис. 2.2.

а)

б)

в)

Рис. 2.2. Графические представления частотных характеристик безинерционного звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Пример безинерционного звена представлен на рис. 2.3.

Рис 2.3. Пример реализации безинерционного звена

Вывод уравнения динамики:

I(t)∙R₁ + U₂(t) = U₁(t). Учитывая, что :

– уравнение динамики в алгебраическом виде;

– уравнение динамики в операторном виде, где коэффициент усиления .

б) Инерционное звено первого порядка.

Звено принято называть инерционным первого порядка, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциальным уравнением вида

,

(2.8)

где Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи

Уравнение в операторной форме:

(2.9)

Передаточная функция:

(2.10)

Так как D(p)=T∙p+1 и K(p)=k, то условие (n=1) ≥ (m=0) выполняется и система технически реализуема.

Переходная характеристика.

Она определяется по формуле 1.15

.

D(p)=T∙p+1; K(p)=k.

K(0)=k; D(0)=1.

Характеристическое уравнение (T∙p+1)=0 имеет корень . Тогда .

Первая производная характеристического полинома равна . При p=p₁ .

Тогда

(2.11)

График переходной характеристики представлен на рис. 2.4.

Рис 2.4. График переходной характеристики инерционного звена первого порядка

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

(2.12)

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.13)

- фазочастотная характеристика:

(2.14)

Графические представления частотных характеристик инерционного звена первого порядка приведены на рис. 2.5.

а)

б)

в)

Рис. 2.5. Графические представления частотных характеристик безинерционного звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Пример инерционного звена первого порядка представлен на рис. 2.6.

а)	б)
Рис. 2.6. Примеры реализации инерционного звена первого порядка

Вывод уравнения динамики для примера, представленном на рис. 2.6, а):

I(t)∙R + U₂(t) = U₁(t). Учитывая, что :

– уравнение динамики.

– уравнение динамики в операторной форме. При этом и .

Вывод уравнения динамики для примера, представленном на рис. 2.6, б), сделать самостоятельно.

в) Колебательное звено.

Звено принято называть колебательным, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциальным уравнением вида

,

(2.15)

где Т₁ и T₂ – постоянная времени, k – коэффициент передачи, при чем Т₁>0, Т₂≥0 и .

Уравнение в операторной форме:

(2.16)

Передаточная функция:

(2.17)

Так как и K(p)=k, то условие (n=2) ≥ (m=0) выполняется и система технически реализуема.

Переходная характеристика.

Для ее определения необходимо найти корни характеристического уравнения

(2.18)

Отсюда:

(2.19)

Если то корни p_1,2 - вещественные, а звено называется инерционным второго порядка. Оно не относится к простейшим типовым звеньям, так как может быть представлено двумя последовательно включенными инерционными звеньями первого порядка (рис. 2.7).

а)	б)
Рис. 2.7. Представление инерционного звена второго порядка двумя звеньями первого порядка: а) звено первого порядка состоит из двух индуктивностей и двух активных сопротивлений; б) звено первого порядка состоит из двух емкостей и двух активных сопротивлений

Если передаточная функция одного инерционного звена первого порядка, представленного на рис. 2.7 равна

,

а второго

,

то передаточная функция последовательно соединенных звеньев первого порядка равна

Так как условие выполняется всегда, то мы имеем передаточную функцию инерционного звена второго порядка.

Если , то корни - комплексные, а звено называется колебательным и является простейшим. Здесь α – декремент затухания, ω - частота колебаний. T₂ определяет наличие или отсутствие затухания колебания. При T₂=0 колебания будут незатухающими с частотой , которая называется собственной. Пример колебательного звена с затухающими колебаниями представлен на рис. 2.8. Здесь , . При этом декремент затухания .

Рис. 2.8. Пример колебательного звена с затухающими колебаниями

Пример колебательного звена с незатухающими колебаниями представлен на рис. 2.9. Здесь , . При этом декремент затухания .

Рис. 2.9. Пример колебательного звена с незатухающими колебаниями

Переходная характеристика колебательного звена описывается формулой

(2.20)

График переходной характеристики представлен на рис. 2.10.

Рис 2.10. График переходной характеристики колебательного звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная характеристика:

(2.21)

При этом и

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.22)

- фазочастотная характеристика:

(2.23)

Графические представления частотных характеристик колебательного звена приведены на рис. 2.11.

а)

б)

в)

Рис. 2.11. Графические представления частотных характеристик колебательного звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

г) Дифференцирующее звено.

Различают «идеальное» и реальное дифференцирующие звенья.

1. Идеальное дифференцирующее звено

Звено принято называть идеальным дифференцирующим, если связь между входом и выходом звена определяется уравнением вида

(2.24)

где k – постоянный коэффициент, имеющий размерность времени.

Уравнение в операторной форме:

(2.25)

Передаточная функция:

(2.26)

Так как и , то условие (n=0) ≥ (m=1) не выполняется и такое звено технически нереализуемо.

Переходная характеристика:

(2.27)

График переходной характеристики «идеального» дифференцирующего звена представлен на рис. 2.12.

Рис 2.12. График переходной характеристики «идеального» дифференцирующего звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

(2.28)

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.29)

- фазочастотная характеристика:

(2.30)

Графические представления частотных характеристик «идеального» дифференцирующего звена приведены на рис. 2.13.

а)

б)

в)

Рис. 2.13. Графические представления частотных характеристик «идеального» дифференцирующего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Пример «идеального» дифференцирующего звена представлен на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Пример реализации «идеального» дифференцирующего звена

2. Реальное дифференцирующее звено

Звено принято называть реальным дифференцирующим, если связь между входом и выходом звена определяется дифференцирующим уравнением вида

(2.31)

где k – постоянный коэффициент, T – постоянная времени звена.

При , но при конечном уравнение переходит в уравнение «идеального» дифференцирующего звена.

Уравнение в операторной форме:

(2.32)

Передаточная функция.

(2.33)

Переходная характеристика:

Она определяется по формуле 1.15

.

D(p)=T∙p+1; .

K(0)=0; D(0)=1.

Характеристическое уравнение (T∙p+1)=0 имеет корень . Тогда .

Первая производная характеристического полинома равна . При p=p₁ .

Тогда

или окончательно

(2.34)

График переходной характеристики реального дифференцирующего звена представлен на рис. 2.15.

Рис 2.15. График переходной характеристики реального дифференцирующего звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

(2.35)

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.36)

- фазочастотная характеристика:

(2.37)

Графические представления частотных характеристик «идеального» дифференцирующего звена приведены на рис. 2.16.

а)

б)

в)

Рис. 2.16. Графические представления частотных характеристик реального дифференцирующего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Примеры реального дифференцирующего звена представлены на рис. 2.17.

а)	б)
Рис. 2.17. Примеры реализации реального дифференцирующего звена

Вывод уравнения динамики для примера, представленного на рис. 2.17, а):

U_c(t)+ U₂(t) = U₁(t). Учитывая, что :

или, учитывая, что :

(*).

Продифференцируем обе части уравнения (*)

– уравнение динамики.

– уравнение динамики в операторной форме. При этом и .

Вывод уравнения динамики для примера, представленном на рис. 2.17, б), сделать самостоятельно.

Дифференцирующее звено широко используется для осуществления так называемой гибкой обратной связи, а также для создания воздействий по производным.

д) Интегрирующее звено.

Звено принято называть интегрирующим, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциальным уравнением вида

(2.38)

где k – постоянный коэффициент.

Уравнение в операторной форме:

(2.39)

Передаточная функция:

(2.40)

Переходная характеристика:

(2.41)

График переходной характеристики интегрирующего звена представлен на рис. 2.18.

Рис 2.18. График переходной характеристики интегрирующего звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная характеристика:

(2.42)

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.43)

- фазочастотная характеристика:

(2.44)

Графические представления частотных характеристик интегрирующего звена приведены на рис. 2.19.

а)

б)

в)

Рис. 2.19. Графические представления частотных характеристик интегрирующего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Пример интегрирующего звена представлен на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Пример реализации интегрирующего звена (входная величина – ток I(t), выходная – напряжения U2(t))

Вывод уравнения динамики для примера, представленного на рис. 2.20:

– уравнение динамики,

или в другой форме .

– уравнение динамики в операторной форме. При этом и .

е) Интегро-дифференцирующее звено.

Звено принято называть интегро-дифференцирующим, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциальным уравнением вида

(2.45)

где k – коэффициент передачи, T₁ и T₂ – постоянные времени, при чем . . При звено превращается в безинерционное, а при – в инерционное первого порядка.

Уравнение в операторной форме:

(2.46)

Передаточная функция:

(2.47)

Переходная характеристика.

Она определяется по формуле 1.15

.

D(p)=T₂∙p+1; .

K(0)=k; D(0)=1.

Характеристическое уравнение (T₂∙p+1)=0 имеет корень . Тогда .

Первая производная характеристического полинома равна . При p=p₁ .

Тогда

или окончательно

(2.48)

График переходной характеристики интегро-дифференцирующего звена представлен на рис. 2.21.

а)	б)
Рис 2.21. График переходной характеристики интегро-дифференцирующего звена: а) преобладает свойство интегрирования; б) преобладает свойство дифференцирования

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

(2.49)

- амплитудно-частотная характеристика:

Окончательно получаем

(2.50)

- фазочастотная характеристика:

.

Окончательно получаем

(2.51)

Графические представления частотных характеристик интегро-дифференцирующего звена, в котором преобладают свойства дифференцирующего звена, приведены на рис. 2.22.

а)

б)

в)

Рис. 2.22. Графические представления частотных характеристик интегро-дифференцирующего звена, в котором преобладают свойства дифференцирующего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Графические представления частотных характеристик интегро-дифференцирующего звена, в котором преобладают свойства интегрирующего звена, приведены на рис. 2.23.

а)

б)

в)

Рис. 2.23. Графические представления частотных характеристик интегро-дифференцирующего звена, в котором преобладают свойства интегрирующего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Примеры интегро-дифференцирующего звена представлены на рис. 2.24.

а). Режим дифференцирования (T1/T2>1)	б) Режим интегрирования (T1/T2<1)
Рис. 2.24. Примеры реализации интегро-дифференцирующего звена

Вывод уравнения динамики для примера, представленного на рис. 2.24, а):

U_c(t)+ U₂(t) = U₁(t). Учитывая, что :

или, учитывая, что

, получим

(*).

Продифференцируем обе части уравнения (*)

– уравнение динамики.

– уравнение динамики в операторной форме.

При этом , и .

Вывод уравнения динамики для примера, представленного на рис. 2.24, б), сделать самостоятельно.

ж). Запаздывающее звено.

Звено принято называть запаздывающим, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциальным уравнением вида

(2.52)

где  – время запаздывания.

Уравнение в операторной форме:

(2.53)

Передаточная функция:

(2.54)

Переходная характеристика:

(2.55)

График переходной характеристики запаздывающего звена представлен на рис. 2.25.

Рис 2.25. График переходной характеристики запаздывающего звена

Частотные характеристики:

- комплексная частотная функция:

(2.56)

- амплитудно-частотная характеристика:

(2.57)

- фазочастотная характеристика:

.

(2.58)

Графические представления частотных характеристик запаздывающего звена приведены на рис. 2.26.

а)

б)

в)

Рис. 2.26. Графические представления частотных характеристик запаздывающего звена: а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

Примеры запаздывающего звена: длинный трубопровод (газопровод, паропровод), длинная электрическая линия без потерь, поточно–транспортные устройства (транспортеры).