4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x в план 3 войдет переменная x4 .
Строка, соответствующая переменной x4 в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 2 на разрешающий элемент РЭ=12/7
На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.
В остальных клетках столбца x4 плана 3 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x4 и столбец x4 .
Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
6/7-(153/7 • -3/7):12/7 |
-1/7-(43/7 • -3/7):12/7 |
0-(0 • -3/7):12/7 |
1-(0 • -3/7):12/7 |
-3/7-(12/7 • -3/7):12/7 |
0-(1 • -3/7):12/7 |
-2/7-(16/7 • -3/7):12/7 |
3/7-(-12/7 • -3/7):12/7 |
153/7 : 12/7 |
43/7 : 12/7 |
0 : 12/7 |
0 : 12/7 |
12/7 : 12/7 |
1 : 12/7 |
16/7 : 12/7 |
-12/7 : 12/7 |
24/7-(153/7 • -2/7):12/7 |
4/7-(43/7 • -2/7):12/7 |
1-(0 • -2/7):12/7 |
0-(0 • -2/7):12/7 |
-2/7-(12/7 • -2/7):12/7 |
0-(1 • -2/7):12/7 |
1/7-(16/7 • -2/7):12/7 |
2/7-(-12/7 • -2/7):12/7 |
(24/7+1M)-(153/7 • (-24/7)):12/7 |
(-6/7)-(43/7 • (-24/7)):12/7 |
(0)-(0 • (-24/7)):12/7 |
(0)-(0 • (-24/7)):12/7 |
(-24/7)-(12/7 • (-24/7)):12/7 |
(0)-(1 • (-24/7)):12/7 |
(-5/7)-(16/7 • (-24/7)):12/7 |
(24/7+1M)-(-12/7 • (-24/7)):12/7 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
6 |
11/3 |
0 |
1 |
0 |
1/3 |
1/3 |
0 |
x4 |
12 |
34/9 |
0 |
0 |
1 |
7/9 |
14/9 |
-1 |
x2 |
6 |
15/9 |
1 |
0 |
0 |
2/9 |
5/9 |
0 |
F(X3) |
42 |
8 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
1M |
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
6 |
11/3 |
0 |
1 |
0 |
1/3 |
1/3 |
0 |
x4 |
12 |
34/9 |
0 |
0 |
1 |
7/9 |
14/9 |
-1 |
x2 |
6 |
15/9 |
1 |
0 |
0 |
2/9 |
5/9 |
0 |
F(X4) |
42 |
8 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
1M |
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 6
x4 = 12
x2 = 6
F(X) = 4•6 + 3•6 = 42
Составим двойственную задачу к прямой задаче.
y1 + 2y2 + 2y3≥2
2y1 - 3y2 + 3y3≥3
y1 + 5y2 - 2y3≥4
6y1 + 12y2 + 6y3 → min
y1 ≤ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥ 0
Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.
Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных .
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = 0
y2 = 2
y3 = 3
Z(Y) = 6*0+12*2+6*3 = 42
Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.
Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
1*0 + 2*6 + 1*6 = 18 > 6
2*0 + -3*6 + 5*6 = 12 = 12
2*0 + 3*6 + -2*6 = 6 = 6
1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0.
Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 12 (6-18).
Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0).
3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.