контрольная по Геометрии и Алгебре №1

Контрольная работа по Геометрии и алгебре №1

Факультет

НиДо

Специальность

Информатика

Выполнил

студент группы 002021-02

Ефимчик Константин Геннадьевич

Минск 2010

Задача №1

Написать разложение вектора x по трем указанным векторам p, q, r, предварительно проверив, что они образуют базис трехмерного пространства. Координаты векторов:

Решение

Посчитаем смешанное произведение векторов :

Следовательно, векторы p,q и r некомпланарные, значит они линейно независимы и образуют базис.

Вектор х можно представить в виде

или

или

Решим полученную систему методом Гаусса:

à =

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

13х₃= – 13 х₃ = -1;

х₂ = -1 – 2х₃ = -1 + 2 = 1;

х₁ = 6 – 2х₂ = 6 - 2 = 4.

Тогда

Ответ :

Задача №2

Коллинеарны ли векторы c₁ и c₂, построенные по двум заданным векторам a и b? Координаты векторов a и b и выражения c₁ и c₂ через них:

.

Решение.

Найдем координаты векторов и :

Векторы коллинеарны, если пропорциональны соответствующие координаты. Так как , то векторы и неколлинеарны.

Ответ: векторы и неколлинеарны.

Задача №3

Найти косинус угла между векторами и . Координаты точек A, B и C: .

Решение

Находим координаты векторов и :

.

Косинус угла между векторами и найдем по формуле:

Ответ: косинус угла между векторами и 0,96

Задача №4

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Выражения a и b через векторы p и q:

.

Решение

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и находится по формуле:

.

Следовательно, S = 14 (квадратных единиц)

Ответ: S = 14 (квадратных единиц).

Задача №5

Компланарны ли векторы a, b и c? Координаты векторов a, b и c: .

Решение

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Проверим это условие.

Следовательно, векторы компланарны.

Ответ: векторы компланарны.

Задача №6

Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить 1) методом Гаусса, 2) по правилу Крамера в случае единственности решения, 3) матричным методом в случае единственности решения. Системы уравнений:

1). Решим данную систему методом Гаусса.

Запишем рассмотренную матрицу и с помощью элементарных преобразований над строками матрицы упростим её:

из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2; из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3:

из 3-й строки, умноженной на 7, вычтем 2-ю строку, умноженную на 4:

Последней матрице соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной:

Из 3-го уравнения получим:

Из 2-го уравнения:

Из 1-го уравнения:

Решение системы:

x₁=8; x₂=4; x₃=2.

2). Решим систему по формулам Крамера:

, и .

Посчитаем определитель системы:

Так как определитель системы Δ отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

Находим :

Тогда,

3). Запишем систему в матричном виде:

АХ=В, где

Решение системы будет:

где – матрица обратная матрице А

где А_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы А.

из пункта 2) равно -58.

Находим алгебраическое дополнения:

Тогда,

Следовательно,

Решение системы: х₁ = 8, х₂ = 4, х₃ = 2.

Ответ: х₁ = 8, х₂ = 4, х₃ = 2.

Задача №7

На плоскости OXY найти общие уравнения прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых перпендикулярно первой и параллельно третьей соответственно. Общие уравнения трех прямых на плоскости OXY даны ниже в соответствии с вариантом. Уравнения двух первых прямых объединены в систему:

x – 2y – 2 = 0.

Решение.

Сначала находим точку пересечения прямых:

– это точка пересечения прямых.

Запишем уравнение первой прямой: x+y+1=0. Уравнение прямой перпендикулярной первой, имеет вид: x-y+c=0. Точка М лежит на этой прямой, значит её координаты должны удовлетворять этому уравнению: .

Уравнение прямой принимает вид: x – y – = 0

Уравнение прямой, параллельной прямой x – 2y – 2 =0 имеет вид:

x – 2y + C = 0.

Для определения С подставим координаты точки М:

Уравнение прямой принимает вид x – 2y – 1 = 0.

Ответ: Уравнение x – 2y – 1 = 0.

Задача №8

Приведением уравнения к каноническому виду установить, что оно определяет эллипс, гиперболу или параболу. Построить соответствующую кривую 2-го порядка на плоскости OXY. Для эллипса и гиперболы найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Найти уравнения асимптот гиперболы. Для параболы найти параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы. Уравнения кривых:

3x² + 4y² = 12.

Решение.

, разделим на 12:

– каноническое уравнение эллипса.

Большая полуось а = 2, малая полуось b = .

Координаты фокусов: F₁ (-c;0), F₂ (c;0), где

Эксцентриситет эллипса равен:

Директрисы эллипса это прямые, уравнения которых

Построим данный эллипс:

Ответ: – каноническое уравнение эллипса;

большая полуось а = 2, малая полуось b = ;

эксцентриситет эллипса равен:

директрисы эллипса:

координаты фокусов: .

Задача №9

Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки M₁, M₂ и M₃, и расстояние от точки M₀ до этой плоскости. Координаты точек M₁, M₂, M₃ и M₀:

M₁ (– 1, 2, – 3), M₂ (4, – 1, 0), M₃ (2, 1, – 2), M₀ (1, – 6, – 5).

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (-1,2,-3), М₂ (4,-1,0), М₃ (2,1,-2), запишется так:

или

Найдем расстояние от точки М₀ (1,-6,-5) до плоскости y + z +1 = 0:

Ответ: уравнение плоскости

Расстояние от точки М₀ до плоскости: d =

Задача №10

Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей. Общие уравнения плоскостей, объединенные в систему:

Решение.

В качестве направляющего вектора прямой возьмем векторное произведение нормалей данных плоскостей, т.е., где

.

Тогда, .

Возьмем какую-нибудь точку данной прямой. Полагаем z ≠ 0, значения x и y определяем из системы уравнений:

На прямой зафиксировали точку М₀ (-8;-2;0).

Уравнения прямой запишутся так:

– каноническое уравнение прямой;

– параметрические уравнения прямой.

Ответ: каноническое уравнение прямой – ;

параметрические уравнения прямой – .

Задача №11

Найти угол между прямой и плоскостью. Если прямая и плоскость не параллельны, то найти точку их пересечения. Канонические уравнения прямых и общие уравнения плоскостей:

.

Решение.

Направляющий вектор данной прямой:

Нормальный вектор данной плоскости:

Синус угла между прямой и плоскостью найдем по формуле:

Тогда

Найдем точку пресечения прямой и плоскости.

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости:

Из уравнения прямой получим координаты точки пересечения:

Точка М₀ (2; -1; 4) – точка пересечения данных прямой и плоскости.

Ответ: угол пересечения прямой и плоскости ;

точка пересечения – М₀ (2; -1; 4).