Задание №1

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Составить программу решения СЛАУ порядка n и решить систему линейных уравнений пятого порядка с трехдиагональной симметричной матрицей вида

Метод	d	q
MQ	-2	-3.23

Построить график зависимости невязки Ø от порядка матрицы n, для чего провести расчеты для матриц размерностью 25, 50 и 75.

Листинг программы:

#include <iostream.h>

#include <math.h>

#include <iomanip.h>

int sign(double a)

{

if(a>0) return 1;

else if(a<0) return -1;

}

void main(void)

{

int i, j, n, k;

double A[75][75],S[75][75], q, d, o;

cout << " Vvedite q: ";

cin >> q;

cout << " Vvedite d: ";

cin >> d;

cout << " Vvedite n - razmernost' matrici A: ";

cin >> n;

//Zadaem matricy A

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++) {

A[i][j]=S[i][j]=0;

A[0][0]=A[n-1][n-1]=q;

for(k=1;k<n-1;k++) A[k][k]=-2;

}

for(i=0;i<n-1;i++) A[i][i+1]=A[i+1][i]=1;

// pryamoi hod vipolneniya

double B[75],X[75],D[75],Y[75],O[75];

double delta;

for(k=0;k<n;k++)

{

delta=A[k][k];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][k];

D[k]=sign(delta);

S[k][k]=sqrt(fabs(delta));

for(j=k+1;j<n;j++) {

delta=A[k][j];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][j];

S[k][j]=delta/(S[k][k]*D[k]);

}

}

//Vipolnenie algoritma - obratni hod

B[0]=B[n-1]=0;

for (i=1;i<n-1;i++) B[i]=d;

Y[0]=B[0]/(S[0][0]*D[0]);

for(i=1;i<n;i++)

{

delta=B[i];

for(k=0;k<=i-1;k++) delta=delta-D[k]*Y[k]*S[k][i];

Y[i]=delta/(S[i][i]*D[i]);

}

X[n-1]=Y[n-1]/S[n-1][n-1];

for(i=n-2;i>=0;i--)

{

delta=Y[i];

for(k=i+1;k<=n-1;k++) delta=delta-X[k]*S[i][k];

X[i]=delta/S[i][i];

}

//Vichislenie nevuazki o

for (i=0;i<n;i++) {

O[i]=B[i];

for (j=0;j<n;j++) O[i]=O[i]-X[j]*A[i][j];

}

//Poisk max O[i]

for (i=0;i<n-1;i++) {

o=fabs(O[i]);

if(fabs(O[i+1])>o) o=fabs(O[i+1]);

}

cout<<" Nevyazka ravna - "<<o<<endl;

//---------------------------------------------------------------25

cout << " Vvedite n - razmernost' matrici A: ";

cin >> n;

//Zadaem matricy A

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++) {

A[i][j]=S[i][j]=0;

A[0][0]=A[n-1][n-1]=q;

for(k=1;k<n-1;k++) A[k][k]=-2;

}

for(i=0;i<n-1;i++) A[i][i+1]=A[i+1][i]=1;

//Vipolnenie algoritma - pryamoi hod

for(k=0;k<n;k++)

{

delta=A[k][k];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][k];

D[k]=sign(delta);

S[k][k]=sqrt(fabs(delta));

for(j=k+1;j<n;j++) {

delta=A[k][j];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][j];

S[k][j]=delta/(S[k][k]*D[k]);

}

}

//Vipolnenie algoritma - obratni hod

B[0]=B[n-1]=0;

for (i=1;i<n-1;i++) B[i]=d;

Y[0]=B[0]/(S[0][0]*D[0]);

for(i=1;i<n;i++)

{

delta=B[i];

for(k=0;k<=i-1;k++) delta=delta-D[k]*Y[k]*S[k][i];

Y[i]=delta/(S[i][i]*D[i]);

}

X[n-1]=Y[n-1]/S[n-1][n-1];

for(i=n-2;i>=0;i--)

{

delta=Y[i];

for(k=i+1;k<=n-1;k++) delta=delta-X[k]*S[i][k];

X[i]=delta/S[i][i];

}

//Vichislenie nevuazki o

for (i=0;i<n;i++) {

O[i]=B[i];

for (j=0;j<n;j++) O[i]=O[i]-X[j]*A[i][j];

}

for (i=0;i<n-1;i++) {

o=fabs(O[i]);

if(fabs(O[i+1])>o) o=fabs(O[i+1]);

}

cout<<" Nevyazka ravna - "<<o<<endl;

//------------------------------------------------------------------50

cout << " Vvedite n - razmernost' matrici A: ";

cin >> n;

//Zadaem matricy A

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++) {

A[i][j]=S[i][j]=0;

A[0][0]=A[n-1][n-1]=q;

for(k=1;k<n-1;k++) A[k][k]=-2;

}

for(i=0;i<n-1;i++) A[i][i+1]=A[i+1][i]=1;

//Vipolnenie algoritma - pryamoi hod

for(k=0;k<n;k++)

{

delta=A[k][k];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][k];

D[k]=sign(delta);

S[k][k]=sqrt(fabs(delta));

for(j=k+1;j<n;j++) {

delta=A[k][j];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][j];

S[k][j]=delta/(S[k][k]*D[k]);

}

}

//Vipolnenie algoritma - obratni hod

B[0]=B[n-1]=0;

for (i=1;i<n-1;i++) B[i]=d;

Y[0]=B[0]/(S[0][0]*D[0]);

for(i=1;i<n;i++)

{

delta=B[i];

for(k=0;k<=i-1;k++) delta=delta-D[k]*Y[k]*S[k][i];

Y[i]=delta/(S[i][i]*D[i]);

}

X[n-1]=Y[n-1]/S[n-1][n-1];

for(i=n-2;i>=0;i--)

{

delta=Y[i];

for(k=i+1;k<=n-1;k++) delta=delta-X[k]*S[i][k];

X[i]=delta/S[i][i];

}

//Vichislenie nevuazki o

for (i=0;i<n;i++) {

O[i]=B[i];

for (j=0;j<n;j++) O[i]=O[i]-X[j]*A[i][j];

}

for (i=0;i<n-1;i++) {

o=fabs(O[i]);

if(fabs(O[i+1])>o) o=fabs(O[i+1]);

}

cout<<" Nevyazka = "<<o<<endl;

//---------------------------------------------------------------------------75

cout << " Vvedite n - razmernost' matrici A: ";

cin >> n;

//Zadaem matricy A

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++) {

A[i][j]=S[i][j]=0;

A[0][0]=A[n-1][n-1]=q;

for(k=1;k<n-1;k++) A[k][k]=-2;

}

for(i=0;i<n-1;i++) A[i][i+1]=A[i+1][i]=1;

for(k=0;k<n;k++)

{

delta=A[k][k];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][k];

D[k]=sign(delta);

S[k][k]=sqrt(fabs(delta));

for(j=k+1;j<n;j++) {

delta=A[k][j];

if(k!=0) for(i=0;i<=k-1;i++) delta=delta-D[i]*S[i][k]*S[i][j];

S[k][j]=delta/(S[k][k]*D[k]);

}

}

// obratni hod vipolneniya

B[0]=B[n-1]=0;

for (i=1;i<n-1;i++) B[i]=d;

Y[0]=B[0]/(S[0][0]*D[0]);

for(i=1;i<n;i++)

{

delta=B[i];

for(k=0;k<=i-1;k++) delta=delta-D[k]*Y[k]*S[k][i];

Y[i]=delta/(S[i][i]*D[i]);

}

X[n-1]=Y[n-1]/S[n-1][n-1];

for(i=n-2;i>=0;i--)

{

delta=Y[i];

for(k=i+1;k<=n-1;k++) delta=delta-X[k]*S[i][k];

X[i]=delta/S[i][i];

}

//Vichislenie nevuazki o

for (i=0;i<n;i++) {

O[i]=B[i];

for (j=0;j<n;j++) O[i]=O[i]-X[j]*A[i][j];

}

for (i=0;i<n-1;i++) {

o=fabs(O[i]);

if(fabs(O[i+1])>o) o=fabs(O[i+1]);

}

cout<<" Nevyazka ravna - "<<o<<endl;

}

Рисунок 1 - Результат:

Задание №3

«Аппроксимация функций»

Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом на интервале [a, b]. Дано количество неизвестных параметров n, вид аппроксимации и m - количество точек, в которых задана функция. Таблица исходной функции y_i=f(x_i) вычисляется в точках x_i=a+(i-1)(b-a)/(m-1), i=1..m. Используя полученную таблицу (x_i, y_i), требуется вычислить значения функций f(x_j), φ(x_j,) и погрешность d(x_j)= f(x_j)- φ(x_j,) в точках x_j=a+(j-1)(b-a)/20; j=1..21, построить графики и проанализировать качество полученной аппроксимации.

Функция f(x)	a	b	m	n	Вид аппроксимации
	1	8	4	4	Лагранжа PL

Листинг программы:

#include <iostream.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

double y_x(double);

double Mn_L(double*,double,int);

//-------Ish. funkciya---------

double y_x(double x) {

return log(x)-5.*cos(x);

}

//-------Polinom Lagrandga------

double Mn_L(double *x,double xt,int n) {

int i,k;

double e,p=0;

for(k=0;k<n;k++)

{

e=1.;

for (i=0;i<n;i++)

if (i!=k) e *= ((xt-x[i])/(x[k]-x[i]));

p += e*y_x(x[k]);

}

return p;

}

Void main(void)

{

//--------Nachal. znacheniya-----

double x,a,b,h,h1,*mas_x;

int i,n,m;

cout << " Vvedite a: ";

cin >> a;

cout << " Vvedite b: ";

cin >> b;

cout << " Vvedite n: ";

cin >> n;

cout << " Vvedite m: ";

cin >> m;

h=(b-a)/(m-1);

h1=(b-a)/20;

mas_x=new double[m];

for(x=a,i=0;i<m;i++){

mas_x[i]=x;

x+=h;

}

//----------Vivod rezultata--------

printf(" x f(x) ~f(x) df(x)\n");

printf("------------------------------------\n");

for(x=a,i=1;i<=21;i++,x+=h1)

printf("%3.2f %7.3f %7.3f %7.3f\n",x,y_x(x),Mn_L(mas_x,x,n),y_x(x)-Mn_L(mas_x,x,n));

cout<<endl;

delete []mas_x;

}

Рисунок 2 – Результат

Задание №4

«Вычисление производных и интегралов»

Задан интервал , функция и указан метод вычисления интеграла. Вначале вычислить точные выражения для первой, второй производных , и для интеграла. Затем необходимо составить подпрограмму для вычисления первой и второй производных, и подпрограмму вычисления интеграла указанным методом. Составить основную программу, которая вычисляет таблицу значений функции, ее точных и приближенных производных в точках , а также точное и приближенное значения интеграла. Вторую производную вычислять только во внутренних точках.

Расчеты производной произвести для . Расчеты интеграла произвести для и с точностью .

Проанализировать погрешность вычислений, для чего построить графики и вычислить погрешности производных и интеграла.

Функция	a	b	Метод интегрирования	Значение
	1	8	Симпсона	8.896

Листинг программы:

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <iostream.h>

double func(double); //vichislenie znacheniy funkcii

double toch_dif_1(double);//vichislenie znacheniy proizvodnoi funkcii

double toch_dif_2(double);//vichislenie znacheniy vtoroi proizvodnoi funkcii

double pribl_integr(double (*f)(double), double, double, double);//vichislenie znacheniy integrala met. Simpsona

double pribl_dif_1(double (*f)(double), double, double, double, double);//vichislenie znacheniy pribligennoi proizvodnoi funkcii

double pribl_dif_2(double (*f)(double), double, double, double, double);//vichislenie znacheniy pribligennoi vtoroi proizvodnoi funkcii

double func(double x)

{ return (log(x)-5.*cos(x));} //f(x)=ln(x)-5cos(x)

double toch_dif_1(double x)

{ return (1/x+5*sin(x));}//f'(x)=1/x+5sin(x)

double toch_dif_2(double x)

{ return (-1./(x*x)+5.*cos(x));}//f''(x)=-1/x^2+5cos(x)

double pribl_dif_1(double (*f)(double), double x, double a, double b, double h) {

if (x==a) return -(3*f(x)-4*f(x+h)+f(x+2*h))/(2*h);

else

if (x==b) return ((*f)(x-2*h)-4*(*f)(x-h)+3*(*f)(x))/(2*h);

else

return ((*f)(x+h)-(*f)(x-h))/(2*h);

}

double pribl_dif_2(double (*f)(double), double x, double a, double b, double h) {

return ((*f)(x-h)-2*(*f)(x)+(*f)(x+h))/(h*h);

}

double pribl_integr(double (*f)(double), double a, double b, double m)//metod Simpsona

{ double s=0,h,x;

h=(b-a)/m;

x=a;

for(int i=1;i<=m;i++) {

s+=f(x)+4*f(x+h/2)+f(x+h);

x+=h;

}

return (s*h/6);

}