Модуль 2: Теория вероятностей.

7. Открыть скобки, используя формулу бином Ньютона:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

7. Решить задачи, используя определение вероятности и основные формулы теории вероятностей.

1. Кодовый замок состоит из двух одинаковых дисков, каждый из которых разделен на пять секторов, отмеченных цифрами от 1 до 5. Найти вероятность того, что наудачу набранная комбинация указанных цифр откроет замок.

2. На полке стоят учебники: 3 по математике, 2 по философии, 4 по английскому. Вынимают 4 учебника. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 учебника по математике, а остальные по английскому.

1. Методическое пособие имеет объем в 70 страниц. Найти вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы содержит цифру 5.

2. Из колоды 36 карт вынимают 4. Какова вероятность того, что будут вынуты не больше двух червей.

1. Играя с кубиками, ребенок составляет их в ряд. Найти вероятность того, что из трех кубиков с буквами К, К, О окажется составлено слово КОК.

2. На прилавке лежат 12 арбузов. Известно что 4 из них недозрелые. Случайно выбирают три арбуза. Какова вероятность того, что незрелыми окажутся не больше одного арбуза.

1. Куб, все грани которого окрашены, разрезан на 1000 одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что наудачу взятый кубик не имеет окрашенных граней.

2. В составе футбольной команды (22 человека), 5 кандидатов в сборную. Случайно выбирают 4 человека. Найти вероятность того, что среди них хотя бы 3 человека кандидаты в сборную.

1. В каждой из двух урн находится 10 шаров, пронумерованных от 1 до 10. Наудачу из каждой урны вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что окажутся вынуты шары с одинаковыми номерами.

2. Из цифр от 1 до 9 составляют пятизначное число. Какова вероятность того, что получится число которое оканчивается на четное число или оканчивается на число которое делится на 3.

1. Из цифр от 1 до 9 составляют всевозможные правильные дроби. Найти вероятность того, что наудачу составленная дробь окажется сократимой.

2. Имеется 7 ящиков и 7 шариков разных цветов. Случайным образом кладут шарики в ящики. Какова вероятность того, что в каждом ящике будет по одному шарику.

1. На каждой грани игрального куба выбито одно из очков от 1 до 6. Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух кубов сумма выпавших очков окажется равной семи.

2. Каждый из пяти студентов может сдать зачет в один из пяти назначенных дней. Выбор каждым студентом любого дня равновозможен. Какова вероятность того, что каждый день на зачет будут приходить только один из этих студентов.

1. В коробке шоколадных конфет упакованы 30 штук, одинаковых по внешнему виду, но с различной начинкой: ореховой, коньячной и желейной в пропорции 1:2:3. Найти вероятность того, что наудачу взятая конфета оказалась с желейной начинкой.

2. Каждый из трех студентов может сдать зачет в один из пяти назначенных дней. Выбор каждым студентом любого дня равновозможен. Какова вероятность того, что студенты придут на зачет в разные дни.

1. Лотерейные билеты с порядковыми номерами от 1 до 100 упакованы в пачку. Найти вероятность того, что порядковый номер лотерейного билета, наудачу взятого из пачки, не содержит цифру три.

2. Вы являетесь одним из восьми человек, среди которых по жребию распределяют три выигрыша. Получив приз человек не участвует в следующем розыгрыше. Найти вероятность того, что вам не достанется ни одного выигрыша.

1. На двух полках стоят учебники по высшей математике, по 7 штук. На каждой полке только в одной книге имеется раздел «теория вероятностей». Отыскивая эти разделы, студент берет с каждой полке по учебнику. Найти вероятность того, что в этих учебниках окажется нужный раздел.

2. Вы являетесь одним из восьми человек, среди которых по жребию распределяют три выигрыша. В розыгрыше каждого приза участвуют все 8 человек. Найти вероятность того, что вам не достанется ни одного выигрыша или вам достанутся все выигрыши.

9. Решить задачу использую теоремы сложения и умножения.

1. Среди 20 поступающих в магазин керамических изделий имеется 4 дефектных. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает 2 изделия. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется:

1. Только одно дефектное изделие;

2. Оба изделия без дефектов.

2. В коробку упаковано 10 трикотажных костюмов, среди которых 3 костюма второго сорта, а остальные первого. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает 2 костюма. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся:

1. Оба изделия первого сорта;

2. Только одно изделие первого сорта.

3. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора, вероятности срабатывания которых, при аварии равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что при аварии:

1. Не сработает ни один из сигнализаторов;

2. Сработает хотя бы один сигнализатор.

4. Претенденту на вакантную должность предложено 2 теста. Вероятность правильного ответа на каждый из тестов равны 0,9 и 0,7. Найти вероятность того, что правильные ответы будут даны:

1. На оба теста;

2. Хотя бы на один тест.

5. Среди 15 учебников имеется 4 учебника по математике. Найти вероятность того, что из 2 случайно отобранных учебников по математике окажется:

1. Только 1 учебник;

2. Хотя бы 1 учебник.

6. В коробку упаковано 24 радиолампы, среди которых 4 с истекшим сроком годности. Для проверки на испытателе наудачу выбирают две лампы. Найти вероятность того, что среди отобранных, окажется с истекшим сроком годности:

1. Только 1 лампа;

2. Хотя бы 1 лампа.

7. Два охотника стреляют в цель с вероятностями попадания 0,7 и 0,8, соответственно, причем каждый из охотников делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что попадут в цель:

1. Оба охотника;

2. Хотя бы один охотник.

8. Шахматист играет подряд две партии. Вероятность его выигрыша в первой партии равна 0,4, а во второй 0,6. Найти вероятность того, что шахматист выиграет:

1. Только партию;

2. Обе партии.

9. Среди 12 банок с соком имеется 3 банки с истекшим сроком годности. Для проверки наудачу взяты 2 банки. Найти вероятность того, что среди них с истекшим сроком годности окажется:

1. Только 1 банка;

2. Хотя бы 1 банка.

10. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 деталей, из которых 8 стандартных, во втором 15 из которых 10 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых деталей окажется:

1. Ни одной стандартной;

2. Только одна стандартная.

10. Решить задачу, используя схему Бернули.

1. При стрельбе из винтовки стрелок попадает в цель в 60% случаев. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах окажется не менее 3 попадания.

2. В среднем пятая част поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди 6 поступивших в продажу автомобилей некомплектными окажутся не более, чем 2 автомобиля.

3. При проверке качества продукции предприятия общественного питания технолог отмечает несоответствие стандарту в среднем в 20% проверенной продукции. Найти вероятность того, что среди проверенных 6 единиц продукции окажутся стандартными не менее 2 едениц.

4. Известно, что в среднем в 20% поступающих на базу обуви имеются отдельные дефекты. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу проверенных пар обуви без дефекта окажутся не менее 1 пары.

5. В столовую поступают пакеты полуфабрикатов с фабрики, выпускающей в среднем 70 % стандартной продукции. Найти вероятность того, что среди 6 проверенных пакетов не удовлетворяет стандарту не более чем 2 пакета.

6. В партии швейных изделий в среднем 60% изделий высшего качества. Для проверки качества наудачу отбирают 6 изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий высшего сорта окажется не более 4 изделий.

7. Наборщик наудачу извлекает 6 литер из кассы, содержащей 80% шрифта отличного качества. Найти вероятность того, что среди извлеченных отличного качества окажется не более 4 литер.

8. Среди выпущенных лотерейных билетов выигрышные составляют 30%. Найти вероятность того, что среди 4 купленных лотерейных билетов выигрышных окажутся не менее 2 штук.

9. В ящике находятся катушки ниток, среди которых 40% белого цвета. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу извлеченных катушек ниток белого цвета окажется не менее 2.

10. Известно, что в среднем 10% продукции не выдерживает гарантийного срока работы. Найти вероятность того, что среди 6 наудачу обследованных единиц продукции проработают гарантийный срок не менее 5.

10. Случайная величина принимает значения с соответствующими вероятностями .

1. Составить закон распределения случайной величины, предварительно определив неизвестную вероятность ;

2. Построить функцию распределения и ее график;

3. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты 3 и 4 порядка, коэффициенты ассиметрии и эксцесса, моду и медиану.

№ вар.
1	0	2	4	5	6	0,15	0,35	0,25	0,10
2	0	1	2	4	6	0,20	0,30	0,25	0,15
3	0	1	3	4	5	0,20	0,35	0,25	0,15
4	0	2	3	4	5	0,10	0,45	0,25	0,15
5	0	1	2	3	6	0,15	0,40	0,30	0,05
6	0	2	3	5	7	0,20	0,35	0,25	0,05
7	0	1	3	5	6	0,10	0,45	0,25	0,10
8	0	1	2	5	7	0,15	0,45	0,20	0,10
9	0	1	3	4	6	0,15	0,40	0,30	0,10
10	0	2	4	6	7	0,20	0,40	0,25	0,05

10. Среднее количество страниц в учебниках на полке составляет штук, среднеквадратическое отклонение составляет штук. Считая, что количество страниц является нормально распределенной случайной величиной:

1. записать плотность распределения вероятностей;

2. определить процент книг, количество страниц которых отклонено от среднего не более чем на штук.

№ вар.	1	2	3	4	5
	50	70	100	150	200
	2	3	4	5	7
	3	5	6	8	10

Средняя глубина бассейна составляет метров, среднеквадратическое отклонение составляет метров. Считая, что глубина является нормально распределенной случайной величиной:

1. записать плотность распределения вероятностей;

2. определить процент отклонения глубины от среднего не более чем на метров.

№ вар.	6	7	8	9	10
	20	25	30	32	35
	3	4	5	6	8
	4	5	5	7	10

10. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения на интервале , вне интервала функция плотности равна нулю. Найти неизвестный параметр h; вероятность попадания случайной величины в интервал ; функцию распределения; матиматическое ожидание, моду и медиану.

№ вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10