Импульсная характеристика

1.3 Построение лачх и лфчх

При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота ω, по другой значение L(ω)=20lgK, выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20дБ/дек.

По оси абсцисс откладывается угловая частота ωв логарифмическом масштабе (за единицу длинны одна декада).

Декада – отрезок на оси частот, соответствующий десятикратному усилению частоты. Длина отрезка, равного декаде, не зависит от частоты.

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

Теперь она представляет собой произведение трех апериодических и одного форсирующего звена с постоянными времени ;Коэффициент усиления К=16. Сопрягающие частоты звеньев равны

; ;;.

Далее необходимо правильно разметить оси и отметить на оси ω сопрягающие частоты в порядке их возрастания. ЛАЧХ приведена на рис. 1.1, а.

_{Первая линия в области низких частот проводится через точку ω=1;} L(ω)=20lgK. Через эту точку проводится первый наклон, и он равен , где - количество интегрирующих звеньев. Так как интегрирующие звенья отсутствуют (=0), то первый наклон будет нулевой. Он идет параллельно оси частот на уровне L(ω)=20lgK=20lg3=24,082 до первой сопрягающей частоты . Эта частота относится к апериодическому звену Следовательно, наклон изменится на -1. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты. Так как это частота относится к форсирующему звену, то наклон изменится на +1 и станет нулевым, ЛАЧХ параллельна оси частот. После частотынаклон изменится на -1 и будет продолжаться до . После частотыон изменится еще на -1 и станет равным -2. Частота, при которой частотная характеристика пересечет ось частот, называется частотой среза,

Рис.1.1а Вид ЛАЧХ системы

Фазочастотная характеристика (рис. 1.1, б) построена в соответствии с выражением

Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений ω → 0, ω → ∞, . В этих точках

ЛАЧХ системы:

>>margin(w)

АФЧХ системы:

>>nyquist(w)

1.4 Уравнение состояния в нормальной форме, схема моделирования

Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные х, связанные с внутренней структурой устройства,- переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Дифференциальное уравнение системы:

α₂ α₁ α₀ β₂ β₁ β₀

где и- коэффициенты уравнения.

Модальная форма уравнения состояния имеет вид:

(1.3)

где А – матрица Фробениуса.

Матрица Фробениуса – это квадратная матрица, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы; элементы нижней строки - это коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком, все остальные элементы – нулевые.

Для систем с одним входом и одним выходом D– одноэлементная матрица, В – вектор-столбец, состоящий из 3 элементов, которые определяются следующим образом:

;

Матрица С – вектор-строка, состоящая из 3 элементов, первый элемент единица, остальные нули:

.

Подставим рассчитанные матрицы в систему (1.3), получим:

Получим следующую систему уравнений:

Схема модели приведена на рис.1.2:

Σ

216

∫

∫

∫

2376

Σ

Σ

x₃ x₂ x₁ y

u

27

39

13

Рисунок 1.2 Блок-схема модели системы по результатам разложения передаточной функции в модальной форме

1.5 Уравнение состояния в канонической форме,

схема моделирования

Запишем уравнения состояния в канонической форме. Чтобы перейти к канонической форме, введем новую переменную q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: .

М – модальная матрица, которая имеет вид:

где - характеристические числа матрицы Фробениуса А. Модальная матрица имеет такой вид, так как матрица А имеет форму Фробениуса и все корни характеристического уравнения различны.

При подстановке q вместо х в нормальную форму уравнений состояния (1.3) получим уравнения состояния системы в канонической форме:

(1.4)

Здесь - диагональная матрица, вычисляется следующим образом:

Используем модальную матрицу:

Найдем :

где - матрица, обратная модальной, определяемая выражением:

.

Здесь -матрица, присоединенная к М, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Подставим

И вычислим:

Подставим найденные значения в (1.4), получим:

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис.1.3. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния .

Построим блок-схему присоединенной канонической формы

Построим блок-схему присоединенной канонической формы:

31.5

∫

Σ

9

3

1

Σ

Σ

18

∫

u y

Σ

13.5

∫

Рисунок 1.3

1.6 Решение уравнения состояния в нормальной и канонической формах

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют видy(0)=1,3;. Сигналu(t)=13∙1(t). переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обозначениями, получим:

Решение уравнения состояния складывается из двух составляющихx(t)=x₁(t)+x₂(t) – свободной и вынужденной.

Свободная составляющая – это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведения системы.

Вынужденная составляющая – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала u(t) и характеризует поведения системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния имеет вид:

где е^At– фундаментальная матрица или матрица перехода.

А – матрица Фробениуса

Она вычисляется по следующей формуле:

е^At=γ₀E+γ₁A+γ₂A²,

где γ₀,γ₁,γ₂ – неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение:

Для рассматриваемого примера:

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида:

γ₀ -γ₁+γ₂= е^-t,

γ₀ -3γ₁+9γ₂= е^-3t,

γ₀ -9γ₁+81γ₂= е^-9t.

Данную систему уравнений решаем методом Крамера:

Итак

Так какy=x₁, то свободная составляющая выходного сигнала будет равна 6.308e^-t + 0.003388e^-9t-0.406e^-3t. Определим вынужденную составляющую при входном сигналеu(t)=13∙1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (1.1). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае, умножим переходную характеристику на 13.

Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:

_{Выполним проверку:}

_{- верно;}

_{y(∞)=K*U=16*13=208 - верно.}

Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (1.4). Каждое из дифференциальных уравнений первого порядка зависит только от одной переменной, и его решение в общем виду имеет вид:

Определим начальные условия q(0) для вектораq(t).

Так как , то

Найдем выражения для ,и:

В результате получим аналитическое вырожение:

_При т.е. к _.

_{Выполним проверку:}

_{y(∞)=K*U=16*13=208- верно.}

_{Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают.}

1.7 Проверка: одинаково ли значение коэффициента усиления по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики

Проверим значение коэффициента усиления по:

• передаточной функции:

• переходной характеристике:

- верно.

• моделям в пространстве состояний (в установившемся режиме на входах интеграторов нули и u=1):

- каноническая форма:

- нормальная форма:

К=16

аналитической записи импульсной переходной характеристики:

; проверяем:

.

Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.