3. Какими методами можно определить статические и динамические математические модели?

Можно выделить два подхода к определению математической модели: аналитический и экспериментальный.

Аналитический метод основывается на анализе физических процессов, происходящих в объекте. Он применяется в тех случаях, когда хорошо известны физические процессы, происходящие в объекте и законы, которые их описывают, когда эти процессы достаточно изучены и могут быть описаны количественно.

Экспериментальный подход применяется тогда, когда такой информации нет, когда невозможно получить модель аналитически. При этом основную информацию об исследуемом процессе или объекте получают путем непосредственных измерений на нем. Помимо этого экспериментальный подход применяют для проверки адекватности модели, полученной аналитически.

Методика аналитического определения математической модели:

Аналитический метод базируется на использовании физических законов, определяющих ход процессов, происходящих в объекте.

Для простых объектов, в которых протекает один элементарный процесс, математической моделью будет запись уравнения, описывающего этот процесс. Решение задачи определения математической модели сложного объекта, в котором протекают различные физические процессы, может быть осуществлено в такой последовательности:

1. Выделяется объект из окружающей среды и изучается его физическая сущность и протекающие в нем процессы.

2. Определяется назначение объекта, и формулируются цели и задачи управления.

3. Определяются переменные (координаты) характеризующее качество работы (выходные, регулируемые переменные).

4. Устанавливаются переменные (координаты) изменение которых наиболее существенно влияет на качество работы объекта (возможные управляющие воздействия и возмущения).

5. Выявляются и формулируются зависимости между выходными координатами и критериями качества, а также между выходными координатами и возможными управляющими воздействиями и возмущениями, т.е. производится собственно математическое описание работы объекта.

При этом сложный объект удобно представить в виде совокупности более простых, элементарных составных частей с описанием связей между ними.

Декомпозиция объекта может осуществляться как по составу устройств и элементов, входящих в объект, так и по физической сущности процессов, происходящих в нем.

На основании анализа процессов, происходящих в отдельных элементах, структуры объекта определяются их математические модели, которые являются записью физических законов, которым подчиняются происходящие в них процессы. При этом необходимо учитывать связи между элементами структуры и обеспечивать их согласование по физической природе сигналов и их размерностям.

6. Определяется номенклатура и параметры управляющих воздействий, и накладываемые на них ограничения, а также возмущения.

7. По полученной структуре и математическим моделям элементов, путем исключения промежуточных переменных, определяются зависимости между выходными переменными, управляющими сигналами и возмущениями. Эти зависимости и являются собственно математической моделью объекта

8. Вычисляются численные значения параметров модели.

9. Оцениваются точность модели и ее адекватность реальному объекту.

Методику аналитического определения математической модели проиллюстрируем на конкретных объектах, процессы в которых наглядны и достаточно хорошо изучены.

Экспериментальные методы применяются в тех случаях, когда получить математическую модель аналитически затруднительно (например, из–за сложности и недостаточной изученности процессов, происходящих в объекте), а также для проверки и уточнения математических моделей, полученных аналитически.

Создание точной рабочей модели сложного объекта без экспериментальной проверки и доводки практически невозможно, так как аналитическая модель бывает либо недостаточно точной и надежной, либо очень сложной и громоздкой.

Задача эксперимента состоит в получении упрощенных функциональных связей между интересующими переменными процесса. Критерием подбора таких упрощенных функций является минимизация отклонения реакции в модели от реакции в реальном объекте.

Эксперимент может быть активным и пассивным.

При активном эксперименте на объект подаются искусственные (пробные) воздействия различного вида (ступенчатые, импульсные, гармонические, случайные) и фиксируется реакция объекта на эти воздействия.

При пассивном эксперименте пробные воздействия не подаются, а осуществляется непрерывная регистрация входных и выходных переменных в процессе нормальной эксплуатации объекта.