Задание 2: Нелинейное программирование

1. Построить область допустимых значений переменных.

2. Найти максимальное значение функции F(x) без учета ограничений на переменные, используя:

а) метод наискорейшего спуска

б) метод Ньютона

Процесс оптимизации начинать с точки x⁰.

3. Найти максимальное значение функции F(x) с учетом системы ограничений задачи, используя:

а) метод допустимых направлений Зойтендейка

б) условия теоремы Куна-Таккера

Процесс оптимизации начинать с точки x⁰.

Вариант 18.

F(x) = +5+4+5+7

x_1,2≥ 0

x⁰ = [3;2]

x1	0	7	-7
x2	2	4	0

1) x₂ ≤

x1	0	7	6,2
x2	-31	4	0

x₂ ≥

2)

а) Находим составляющие вектора градиента функции:

Так как экстремумом функции будет являться её минимум, градиент будем использовать с противоположным знаком.

1 шаг: Движение осуществляется из x⁰вдоль в новую точкуx¹:

Градиент в точке x⁰равен:

Координаты точки x¹определяются выражением:

Величину шага определим из условия:

=

В результате точка x¹:

2 шаг:

Градиент в точке x¹равен:

Координаты точки x² определяются выражением:

Величину шага определим из условия:

В результате точка x²:

3 шаг:

Градиент в точке x²равен:

Координаты точки x³ определяются выражением:

Величину шага определим из условия:

В результате точка x³:

В точке х³ функция достигает значения

F_max = -5,91;

Метод наискорейшего спуска неэффективен при приближении к точке экстремума, поэтому существует погрешность.

б) Так как функция цели квадратичная, экстремум будет найден за один шаг.

H^-1= , гдеdetH– определитель матрицы H.

detH = 2∙10 - 4∙4 = 20 – 16 = 4.

AdjH – присоединенная к H матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы H:

, тогда:

Тогда AdjH=; H^-1 = ;

;

F_max = -8,5;

Равенство градиента нулю показывает, что найденная точка является экстремальной, а решение – оптимальным. Исходя из этого, можно построить графики функций и наглядно увидеть, что метод наискорейшего спуска оставляет погрешность и эффективен он только для задач с большим удалением начальной точки от точки максимума.

3) а)

Учитывая, что экстремум функции будет являться её минимумом, будем использовать градиент с противоположным знаком.

Градиент в точке х⁰ равен:

Выбираем наиболее сильные условия:

Находим значение как в методе наискорейшего спуска.. Данное значение не принадлежит найденному интервалу, поэтому.

Точка х¹ равна:

Таким образом, точка попадает на ограничение х₂ = 0.

Градиент в точке х¹ равен:

Движение в этом направлении выводит за пределы ОДЗП, поэтому очередная точка поиска будет производиться в направлении S¹:

Координаты новой точки определятся выражением:

Определим интервал изменения параметра при которомx² принадлежит области допустимых значений переменных:

=>

Выбираем наиболее сильные условия:

-2 ≤ ≤ 4,2

Находим величину , которая обеспечит максимум функцииF(x) в направлении S¹:

Для этого в функцию цели подставляем координаты точки x²:

F() =

;

Значение = -4,5 не принадлежит найденному интервалу, поэтому принимаем значениеравным граничному значению,.

Градиент в точке x² равен:

_{Его направление перпендикулярно направлению вектора S1. Следовательно, данная точка является оптимальным решением.}

Функция достигает экстремума в точке . Точка экстремума лежит на пересечении ограничивающих прямыхи.

F_min = 0.

б) Составим функцию Лагранжа:

Так как экстремум функции будет являться минимумом, то производная , а производная.

Запишем условия теоремы Куна-Таккера:

БП	СЧ	НП
		x1	x2	λ1	λ2
v1 v2 w1 w2	5 7 14 31	-2 -4 -2 5	-4 -10 7 -1	2 -7 0 0	-5 1 0 0

Решение, определяемое последней таблицей, соответствует допустимому базисному решению v₁= 5; v₂= 7; w₁=14; w₂=31; x₁=x₂= λ ₁= λ₂= 0.

Выполняется условие x₁∙v₁=x₂∙v₂ = λ₁∙w₁=λ₂∙w₂ = 0, поэтому является оптимальным решением задачи.

При этом F_min= 0.

Список использованной литературы:

1) Полный конспект лекций. Павлова А. В. БГУИР.

2) Математические основы теории систем, алгебраические структуры и матричные методы. Авторы: Ушаков, Хабалов, Дударенко, СПбГУ ИТМО 2005г.