Одновременное действие изгиба и кручения

Одновременное действие изгиба и кручения особенно часто подвергаются детали машин, передающие вращательное движение и называемое валами. В общем случае нагружения вала в отдельных сечениях вала будут существовать шесть силовых факторов: продольная сила N, две поперечные силы Q_y и Q_z, два изгибающих момента М_y и М_z и крутящий момент M_x. Для наглядности принято строить эпюры этих силовых факторов. Общая последовательность операций при построении эпюр такова. Сначала необходимо все внешние силы, приложенные к валу, привести к центрам тяжести соответствующих сечений. При этом поперечные силы разлагаются по направлениям осей YZ. Затем находятся опорные реакции отдельно для сил, лежащих в плоскости YOX ( ) и для сил, лежащих в плоскости ZOX( ). Далее, для сил, лежащих в плоскости ZOX строятся эпюры изгибающего момента μ_у и поперечной силы Q_z, а для сил, лежащих в плоскости YOX эпюры μ_z и Q_у. Наконец, для моментов лежащих в плоскостях, перпендикулярных к оси ОХ, строится эпюра крутящих моментов μ_к= μ_х. Если среди внешних сил имеются продольные силы, то дополнительно для них должна быть построена эпюра продольных сил N=P_x. На основании построенных эпюр можно проверить прочность в любом сечении вала.

Изгибающие моменты μ_у и μ_z и поперечные силы Q_y и Q_z можно сложить:

В результате применения этих формул могут быть построены эпюры μ_u и Q. При их построении надо иметь в виду следующее.

1. Суммарная поперечная сила Q может не менять в плоскости действия суммарного изгибающего момента μ_u, и поэтому между ними не будет уже не будет соблюдатся зависимости

2. Эпюра суммарного изгибающего момента μ_u будет изображаться прямой линией на тех участках, на которых эпюры μ_z и μ_y также изображаются прямыми линиями с общей нулевой точкой.

3. На тех участках, где μ_y и μ_z изображаются прямыми линиями, но имеют нулевые точки в разных сечениях эпюра μ_u будет изображаться вогнутой кривой, то есть будет иметь наибольшую ординату на одном из концов участка, и строится по точкам.

В конечном итоге для круглого вала в произвольном сечении могут действовать четыре силовых фактора: продольная сила изгибающий момент μ_u, поперечная сила Q и крутящий момент μ_к. Необходимо рассчитать на прочность данного сечения, имеющего диаметр d.

Продольная сила вызывает в сечении равномерно распределенные нормальные напряжения:

Максимальные напряжения от изгибающего момента имеют место в двух диаметрально противоположных точках контура и по величине равны:

Очевидно, что в одной из этих двух точках напряжения и одинаковы по знаку, поэтому абсолютная величина суммарного нормального напряжения в одной из этих точек (1)

Здесь N и М_u взяты по их абсолютной величине.

Крутящий момент μ_к вызывает наибольшие касательные напряжения во всех точках контура сечения:

Наибольшие касательные напряжения от сдвига, вызываемого поперечной силой, будут существовать в двух диаметрально противоположных точках контура и по величине равны

В одной из этих точек контура напряжения и будут иметь одинаковое направление и сложатся арифметически:

(2)

Делая некоторую небольшую ошибку в запас прочности, принимаем, что точка с наибольшим нормальным и касательным напряжением совпадают.

Чтобы упростить расчетные формулы для наиболее часто встречающего случая расчета стержня круглого сечения, формулы (1) и (2) полезно несколько преобразовать. Первую из них можно переписать так:

(3)

где - приведенный изгибающий момент, эквивалентный по величине вызываемого им максимального нормального напряжения одновременному действию реальных силовых факторов μ_u и N:

Аналогично формула (2) принимает вид:

где - приведенный крутящий момент, эквивалентный по величине вызываемого или максимального касательного напряжения действительным силовым факторам μ_к и Q:

Теперь, применяя различные теории прочности для проверки круглого вала на совместное действие изгиба и кручения по напряжениям, можно получить следующие формулы:

По третьей теории (4)

По третьей теории с поправкой Мора:

(5) где

По четвертой теории (энергии формоизменения) (6)

Все формулы можно объединить одним общим выражением где μ_u.э. – эквивалентный изгибающий момент по соответствующей теории прочности, равный численно дроби формул.

Для опасного сечения формула (7) преобразуется подстановкой к виду и отсюда находится минимальное необходимое значение d. Оно округляется по ГОСТ до ближайшего размера d, и для этого размера в опасном сечении заново вычисляется значение μ_uе с учетом влияния продольной и поперечной сил и проверяется прочность по формуле (7). При этом допускается перенапряжение не свыше 5%.