Ігр №6 перетин геометричного тіла площиною

Завдання до ІГР №6. Побудувати три проекції лінії перетину заданого геометричного тіла площиною загального положення і визначити натуральну величину перетину способом ЗПП.

Методичні вказівки до виконання ІГР №6. Робота виконується на аркуші креслярського паперу формату А3 згідно з прикладом оформлення, наведеним на рис. 7. Дані свого індивідуального варіанта вибираються із додатка А.

Для побудови лінії перетину потрібно шукати точки перетину бокових ребер багатогранника з площиною або накладати допоміжні січні площини [1, с.38-39, рис. 1.38 б; 2, с.114, 170-180; 3, с.185; 4, с.61-64, 150-156; 5, с.156-166; 6, с.167-169, 176-178]. Оскільки площина Р є площиною загального положення, то доцільно замінити площину проекцій так, щоб у новій системі площин проекцій задана січна площина стала проекціювальною [2, с.181-183; 4, с.96-97, рис. 98, с.160-161, рис.170; 5, с.166-168; 6, с.353, 369].

Послідовність побудови лінії перетину геометричного тіла площиною загального положення:

• за проекційним зв’язком будується третя проекція заданого геометричного тіла та січної площини;

• оскільки січна площина Р є площиною загального положення, то площина проекцій П₂ замінюється на площину проекцій П₄, де задана площина стає проекціювальною Р₄. Для цього проводиться нова вісь проекцій x₁₄ перпендикулярно до горизонтального сліду Р₁, а потім проекціюються геометричне тіло (на рис. 7 зображено для прикладу пряму чотиригранну піраміду) та січна площина на нову площину проекцій П₄ з перенесенням величин висот z_i для кожної точки з фронтальної площини П₂, яка замінюється на площину П₄, що вводиться;

• знаходяться точки перетину проекції Р₄ сліду площини Р з ребрами піраміди K₄L₄M₄N₄, які належать проекції лінії перетину, і за лініями проекційного зв’язку визначаються її проекції K₁L₁M₁N₁ на горизонтальній П₁ та K₂L₂M₂N₂ на фронтальній П₂ площинах проекцій;

• отримані точки з’єднуються на площинах П₁ і П₂ відрізками прямих для наочності червоного кольору як ламаної лінії перетину піраміди січною площиною Р, видимість якої визначається за допомогою к о н к у р у ю ч и х т о ч о к;

• для визначення натуральної величини (НВ) перетину використовується друга заміна площин проекцій, для чого вісь x₄₅ розміщується паралельно проекції лінії перетину K₄L₄M₄N₄, і на площині П₅, введеній замість горизонтальної площини П₁, будується натуральна величина перетину K₅L₅M₅N₅, яка для наочності зображується зеленим кольором.

ІГР №7 ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

Завдання до ІГР №7. Побудувати три проекції лінії взаємного перетину двох поверхонь.

Методичні вказівки до виконання ІГР №7. Робота виконується на аркуші креслярського паперу формату А3 відповідно до прикладу оформлення, наведеного на рис. 8. Конфігурація та основні розміри пересічних поверхонь вибираються із додатка Б.

Визначення лінії перетину поверхонь особливо важливе в інженерній справі, тому що практично усі складні поверхні ливарних і штампованих деталей: корпусів, колінчастих валів, кулачків, кузовів, рам, редукторів, станин, шатунів та подібних споруд- мають відповідні лінії, що називаються лініями переходу однієї поверхні до іншої. Лініями перетину можуть бути: просторові криві – при перетині двох криволінійних поверхонь або криволінійної поверхні та багатогранника, і просторові ламані лінії – при перетині двох багатогранників. В окремих випадках [2, с.202; 4, с.194] лінії перетину двох поверхонь можуть виявитися плоскими – прямими лініями, колом, еліпсом.

Загальним способом побудови лінії перетину однієї поверхні іншою є введення допоміжної січної поверхні, яка називається посередником [1, с.67; 2, с.194]. Ця допоміжна

поверхня перетинає першу з пересічних поверхонь по лінії k, а другу – по лінії l. Точка К, в якій перетинаються лінії k та l, є загальною для обох пересічних поверхонь і відповідно належить лінії їх перетину. Повторення такої побудови кілька разів дозволяє визначити потрібну кількість точок шуканої лінії взаємного перетину, однойменні проекції яких з’єднуються плавними кривими чи ламаними лініями проекцій лінії перетину. При взаємному перетині двох криволінійних поверхонь побудову слід починати зі знаходження характерних (опорних) точок, до яких належать точки на контурних твірних, точки, що відділяють видиму частину лінії перетину від невидимої, найвищі та найнижчі, найближчі та найвіддаленіші, крайні зліва й справа точки на проекціях лінії перетину та інші [2, с.195].

Можливі три варіанти перетину геометричних поверхонь:

1. Взаємний перетин багатогранників [1, с.39-41; 2, с.118-121; 4, с.67-71; 5, с.182-184, 190-195; 6, с.192, 201-202].

2. Перетин багатогранника з криволінійною поверхнею [1, с.72-75; 2, с.196-197; 4, с.180-182; 5, с. 203-207; 6, с.200-201].

3. Взаємний перетин криволінійних поверхонь [1, с.67-72; 2, с.195-201; 4, с.177-194; 5, с.184-190; 6, с.193-200].

Найбільш часто застосовуються такі способи знаходження лінії перетину поверхонь:

1. спосіб допоміжних січних площин – посередників [2, с. 195];

2. спосіб концентричних допоміжних сфер–посередників [4, с. 189; 9, с. 27];

3. спосіб ексцентричних допоміжних сфер–посередників [4, с. 192];

4. спосіб перетворення проекцій [5, с. 203];

5. спосіб косокутного проекціювання [5, с. 206].

Вибір способу побудови лінії перетину залежить від форми та положення геометричних поверхонь, що перетинаються.

Зразки визначення лінії перетину пересічних поверхонь різноманітними способами наведено у рекомендованій літературі [2, с. 217-225; 3, с. 202-220].

Приклад побудови лінії взаємного перетину криволінійних поверхонь у вигляді півсфери та прямого кругового циліндра, осі яких паралельні, але не збігаються, методом допоміжних січних площин наведено на рис. 8. Спочатку знаходяться характерні точки:

а) найближча А (А₁, А₂) до спостерігача і найвіддаленіша В (В₁, В₂) від нього точки визначаються за допомогою допоміжних січних площин фронтального рівня Γ₁ та Σ₁;

б) у точках С (С₁, С₂) й D (D₁, D₂) крайня ліва та права твірні циліндра перетинаються з поверхнею півсфери. Вони є точками видимості лінії перетину і визначаються за допомогою допоміжної січної площини Θ₁;

в) у точках К (К₁, К₂) й L (L₁, L₂) головний меридіан півсфери перетинається з твірними циліндра.

Проміжні точки M (M₁, M₂) та N (N₁, N₂) знаходяться за допомогою допоміжної фронтальної площини Λ₁, яка перетинає поверхню півсфери по колу радіуса R, а поверхню циліндра – по твірних. На їх перетині маємо точки M та N. Аналогічно можна визначити ще декілька проміжних точок, вибраних довільно. Усі знайдені точки сполучаються з урахуванням видимості плавною кривою, яка є шуканою лінією перетину, що для наочності зображується червоним кольором.