Контрольная работа №1

( по высшей математике для экономических специальностей)

Задачи 1-10. Даны векторы a,b,c,d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение; 2) найти модуль векторного произведения; 3) проверить коллинеарность и ортогональность;

4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

5) найти координаты вектора d в этом базисе.

1. a=i-2j+3k, b=4i+7j+2k, c=6i+4j+2k, d=14i+18j+6k;

1) 3a, 2c; 2) b, -4c; 3) a, c.

Решение:

1. Скалярное произведение вычисляем по формуле (a·b)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ (3a·2c)=6(a·c)=6(1·6+(-2)·4+3·2)=6(6-8+6)=24

2. Поскольку скалярное произведение уже известно, из формулы ab=|a|·|b|·cosφ найдем косинус угла между векторами 3a и 2с: ,

1)3) Поскольку (3a·2c)=24≠0 и |[3a,2с]|=96√3≠0, то согласно условиям ортогональности и коллинеарности двух векторов векторы 3a и 2с – неортогональные и неколлинеарные.

2)1) Скалярное произведение вычисляем по формуле (a·b)= a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

(b·(-4c))=-4(b·c)=-4(4·6+7·4+2·2)=-224

2)2)

2)3) Поскольку (b·(-4c))=-224≠0 и |[b,-4c]|=8√182≠0, то согласно условиям ортогональности и коллинеарности двух векторов векторы b и -4с – неортогональные и неколлинеарные.

1. (a·c)= (1·6+(-2)·4+3·2)=4

2. Поскольку угол между векторами 3a и 2с равен углу между векторами а и с, то найдем векторное произведение

3. Поскольку (a·c)=4≠0 и |[a,c]|=16√3≠0, то согласно условиям ортогональности и коллинеарности двух векторов векторы a и с – неортогональные и неколлинеарные.

3. Найдем смешанное произведение векторов a,b,c по формуле

Поскольку abc=-80 ≠0, то векторы линейно независимы и образуют базис.

3. Вектор d можно представить в виде d=xa+yb+zc, что равносильно следующим равенствам: 14=x+4y+6z, 18=-2x+7y+4z, 6=3x+2y+2z.

Решив полученную систему уравнений, найдем x=0, y=2, z=1. Итак, d=2b+c, вектор d в данном базисе {a,b,c,} имеет координаты x=0, y=2, z=1.

Задачи 11-20. Даны вершины A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) треугольника ABC.

Требуется найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CH и длину этой высоты;

3) уравнение медианы AM;

4) точку N пересечения медианы AM и CH;

5) уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

6) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.

11. A(-2,4), B(3,1), C(10,7).

Решение:

1) Для составления уравнений прямой AB воспользуемся формулой .

. Отсюда получим уравнение прямой АВ 3x+5y-14=0.

2) Прямые CH и AB перпендикулярны, следовательно, произведение их угловых коэффициентов равно -1, т.е. . Найдем ( = находим из уравнения прямой AB, полученного в 1)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M(), имеет вид . Уравнение прямой CH, проходящей через т.С(10,7), имеет вид

y-7=5/3(x-10) или 3y-5x+29=0. Найдем координаты т.Н, решив систему уравнений

x=5.5, y=-0.5. Длина высоты CH= .

3) Найдем координаты т.М-середину стороны ВС. .Найдем уравнение медианы AM. y-4=0.

4) Для нахождения т.N решим систему уравнений . Итак, точка N имеет координаты x=8.2, y=4.

5) Поскольку AB и прямая, проходящая через т. С, параллельны , то их угловые коэффициенты равны. Отсюда уравнений прямой, проходящей через т. С и параллельной AB, будет иметь вид , т.е. y-7= или 3x+5y+65=0.

6) Найдем угловой коэффициент прямой AC по формуле . 0,25.

Зная =, по формуле tgφ= найдем угол BAC.

Угол BAC =45˚.

Угол ACВ≈26.6˚. Итак, внешний угол при вершине С равен 180˚-26.6˚=153.4˚

Задачи 21-30. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по их известным из условий 1-3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F - фокус кривой, ε- эксцентриситет, 2c - фокусное расстояние; y= ±kx - уравнения асимптот гиперболы; D - директриса кривой; A, B - точки, лежащие на кривой.

21. 1) b=15, F(-10;0); 2) a=13,  =14/13; 3) D: x=-4.

Решение:

1) Каноническое уравнение эллипса имеет вид x²/a²+y²/b²=1. Поскольку известны координаты фокуса F(-10;0), то по формуле с= находим a²=c²+b²=100+225=325.

Отсюда уравнение эллипса с малой полуосью b=15 и фокусом кривой F(-10;0) имеет вид

x ²/ 325+y²/225=1.

2) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид x²/a²-y²/b²=1. Из ε=c/a находим c=aε=14 и подставляем в формулу с=. Откуда b²=c²-a²=196-169=27. Итак, уравнение гиперболы с эксцентриситетом  =14/13 и большой полуосью a=13 имеет вид

x²/169-y²/27=1.

3) Каноническое уравнение параболы имеет вид y²=2px. Директриса кривой равна x=-4, откуда по формуле x=-p/2 находим p=-2x=8. Отсюда уравнение параболы с директрисой x=-4 имеет вид y²=16x.

Задачи 31-40. Даны четыре точки A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂), A₃(x₃,y₃,z₄), A₄(x₄,y₄,z₄). Требуется найти: 1) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 2) уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃; 3) расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃; 4) синус угла между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃; 5) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A₁A₂A₃.

31. A₁(3,-1,2), A₂(-1,0,1), A₃(1,7,3), A₄(8,5,8).

Решение:

1) Для составления уравнения плоскости A₁A₂A₃ воспользуемся формулой

. Откуда получаем

, или 9x+6y-30z+39=0 - уравнение плоскости A₁A₂A₃

2) Искомое уравнение прямой, проходящей через т.А4 и перпендикулярной плоскости A₁A₂A₃, получим из канонических уравнений прямой

, где - точка, лежащая на искомой прямой; m,n,p - координаты вектора, параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку A₄(8,5,8) а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости A₁A₂A₃, т.е. n=(9;6;-30). Имеем .

3) Расстояние от т. до плоскости Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле

. Найдем расстояние от точки A₄(8,5,8) до плоскости A₁A₂A₃ .

4) Синус угла между прямой и плоскостью определяется формулой

, где A, B, C – координаты нормального вектора плоскости A₁A₂A₃; m, n, p – координаты направляющего вектора прямой A₁A₄. Найдем координаты вектора A₁A₄=(8-3,5+1,8-2)=(5,6,6).

6) Косинус угла между плоскостями определяется формулой

. Поскольку нормальным вектором плоскости Oxy является координатная ось Oz, то уравнение плоскости Oxy примет вид Сz=0, т.е. косинус угла между плоскостями Oxy и A₁A₂A₃ будет иметь вид

.

.