Контрольная работа № 3

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Задачи 81-90. 1) Выполнить действия над комплексными числами, записав результат в показательной форме; 2) найти все корни уравнения.

81.1) ; 2)

Решение:

1) Умножим числитель и знаменатель выражения на комплексное число (1+i)⁷ и получим . Найдем произведение , а также возведем 1+i в квадрат . Подставив полученные значения в выражение, найдем . Поскольку i⁸ представимо в виде i^4k, где k=0,1,2,… , а i^4k=1, то и i⁸=1. Откуда .Представляя результат в показательной форме, получим 2=re^iφ=2e⁰=2 (где φ=0).

2) Представим комплексное число в тригонометрической форме: . Далее используя формулу , получим

Подставляя k, φ=0 и , найдем

Задачи 91-100. Построить график функции y=F(x), используя преобразования графика известной функции f(x).

91..

Решение:

График функции на отрезке x=[-10;10] выглядит следующим образом ( рис.1). Представим искомый график функции . График функции является зеркальным отражением графика известной функции относительно оси абсцисс, параллельно смещенной вдоль оси ординат на 2 единицы (рис.2). Поскольку в составе функции выражение в модуле, то на полуинтервале x=(0;0.5], участок графика функции, лежащий ниже оси абсцисс, зеркально отразится относительно этой оси (рис.3).

Задачи 101-110. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

101. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Решение:

1) Непосредственно подставляя аргумент x=1, получаем в числителе , а в знаменателе бесконечно малую функцию: . Поэтому .

2) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x³. Получим , так как при — бесконечно малые функции.

3) Подставляя предельное значение аргумента, получим неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на . Получим

Подставляя предельное значение аргумента, получим .

4) Пределы числителя и знаменателя при равны 0, т.е. имеем неопределенность . Разделим числитель и знаменатель на 3x. Воспользуемся первым замечательным пределом и получим: .

5) Разделим числитель и знаменатель на x и подставим., так как при — бесконечно малая функция.

6) Разделим числитель и знаменатель на x и после преобразований получим:

В знаменателе получили 1², поскольку при бесконечно малые функции. Произведем замену . Используя второй замечательный предел, найдем .

Задачи 111-120. Исследовать функцию f(x) на непрерывность и построить ее график.

111.

  f(x)=    x,x  0,  (x  1)2 ,0 < x < 2, x  3,x  2.

Решение:

Функция –x непрерывна на , функция  (x  1)² — на , функция x  3— на , значит, f(x) непрерывна на . Остается исследовать точки x₁=0 и x₂=2. Находим правые и левые пределы функции в этих точках. Функция f(x) в точке x₁=0 имеет разрыв первого рода, поскольку правый и левый пределы функции в этой точке не равны друг другу: . Скачок функции в точке x₁=0 равен -1. Функция f(x) в точке x₂=2 непрерывна: .

График функции (рис.1) состоит из 3 частей: 1) y=-x, x  0 ( зеркальное отражение графика функции y=x относительно оси абсцисс); 2) y=-(x-1)², 0 < x < 2 ( зеркальное отражение графика функции y=x² относительно оси абсцисс, смещенное вправо вдоль оси абсцисс на 1 единицу); 3) y=x-3, x  2.