9.5. Замыкание множества атрибутов

Хотя в предыдущем разделе так и не был дан эффективный алгоритм для вычисления замыкания S+ на основе множества функциональных зависимостей S, в этом разделе описан алгоритм определения, будет ли данная ФЗ находиться в данном замыкании. Для этого прежде всего следует дать определение понятию суперключ. Суперключ отношения R— это множество атрибутов отношения R, которое содержит в виде подмножества , но не обязательно собственного подмножества, по крайней мере один потенциальный ключ. ( Определение термина «суперключ», таким образом, может быть выведено из понятия «потенциальный ключ».) Таким образом, отсюда следует, что суперключи для данного отношения R – это такие подмножества К множества атрибутов отношения R , что функциональная зависимость

К -> А

истинна для каждого атрибута А отношения R.

Теперь предположим, что известны некоторые ФЗ, выполняющиеся для данного отношения, и требуется определить потенциальные ключи этого отношения. По оп­ределению потенциальными ключами называются неприводимые суперключи (т.е. суперключ содержит потенциальный ключ). Таким образом, выясняя, является ли данное множество атрибутов К суперключом, можно в значительной степени продви­нуться к выяснению вопроса, является ли К потенциальным ключом.

Для этого нужно определить, будет ли набор атрибутов отношения R множеством всех атрибутов, функционально зависящих от К. Таким образом, для заданного мно­жества зависимостей S, которые выполняются для отношения R, необходимо найти способ определения множества всех атрибутов отношения R, которые функционально зависимы от К, т.е. так называемое замыкание К + множества К для S. Простой алго­ритм вычисления этого замыкания показан на рис. 9.2. Ниже даны пояснения. Уп­ражнение. Докажите, что этот алгоритм правильный.

CLOSURE[К,S]:= К ;

do "forever" ; /* выполняется всегда */

for each FD X -> Y in S /*для каждой ФЗ X -> У в S */ do ;

if X is subset of CLOSURE [K,S} /* если является подмножеством */

then CLOSURE [К, S] := CLOSURE [К, S] UNION Y;

end ;

if CLOSURE[K,S]did not change on this iteration then leave loop ;

/* если на этой итерации изменений не произошло,

вычисления завершаются */

end ;

Рис. 9.2. Вычисление замыкания K⁺ множества К для S

Пример. Предположим, что дано отношение R с атрибутами А, В, С, D, Е и F и следующими ФЗ:

А -> ВС

Е -> CF .

В -> Е

CD -> EF

Теперь вычислим замыкание {А, В}⁺ множества атрибутов {А, В} для данного множества ФЗ.

1. Присвоим замыканию CLOSURE [K, S] начальное значение — множество {А, В}.

2. Теперь выполним внутренний цикл четыре раза, по одному разу для каждой ФЗ. На первой итерации (для зависимости А -> ВС) будет обнаружено, что левая часть действительно является подмножеством замыкания CLOSURE [K, S]; таким обра­зом, к результату можно добавить атрибуты В и С. Замыкание CLOSURE[K, S] те­перь представляет собой множество {А, В, С}.

3. На второй итерации (для зависимости Е -> CF) можно обнаружить, что левая часть не является подмножеством полученного до этого момента результата, ко­торый, таким образом, остается неизменным.

останется неизменным.

4. На третьей интерации ( для зависимости B ->E ) множество Е будет добавлено к замыканию CLOSURE[K, S], которое теперь будет иметь вид{А, В, С, Е}.

5. На четвертой интерации ( для зависимости CD ->EF ) замыкание CLOSURE[K, S] останется неизменным.

6. Теперь внутренний цикл будет выполнен еще четыре раза. На первой интерации результат останется прежним, на второй он будет расширен до {А, В, С, E, F } , а на третьей и четвертой — снова не изменится.

7. Наконец, после еще одного четырехкратного прохождения цикла замыкание CLOSURE[K, S] остается неизменным и весь процесс в целом завершается с результатом {А, В, С, Е, F}⁺={A, В, С, Е, F}. Обратите внимание, что {А,B} не является суперключом (и, следовательно, потенциальным ключом).

Из сказанного выше можно сделать очень важное заключение: для множества функциональных зависимостей S можно легко указать, будет ли заданная зависимость X ->Y следовать из S, поскольку это возможно тогда и только тогда, когда Y является подмножеством замыкания X+ множества Х для заданного множества S. Иначе говоря, таким образом представлен простой способ определения , будет ли данная функциональная зависимость X—> Y включена в замыкание S+ множества S.