Занятие 8

Тригонометрические уравнения и неравенства.

Основные методы решений

 

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

О. 1.1. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения:

_{Рассмотрим их решения.}

I. Уравнение

О. 1.2. Арксинусом числа а (обозначают arcsin a), где называется число t из отрезка , синус которого равен а.

Итак, если , то arcsin a = t:

Так как то уравнение имеет решение лишь в том случае, когда . При выполнении этого условия все решения уравнения содержатся в формуле

Если же , то уравнение I. не имеет действительных решений.

Пример 1. Решить уравнение

Пример 2. Решить уравнение

_{Δ Это уравнение не имеет решений, так как √10>3 и, значит,}

II. Уравнение

О. 1.3. Арккосинусом числа а (обозначают arccos a), где называется число t из отрезка , косинус которого равен а.

Итак, если , то arccos a = t:

Если , то уравнение имеет решения

Если , то уравнение не имеет решений.

III. Уравнение

О. 1.4. Арктангенсом числа а (обозначают arctga) называется такое число t из интервала _, тангенс которого равен а.

Итак, arctg a = t:

Уравнение имеет решения

IV. Уравнение

О. 1.5. Арккотангенсом числа а (обозначают arcсtga) называется такое число t из интервала котангенс которого равен а.

Итак, arсctg a = t:

Уравнение имеет решения

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций справедливы формулы:

Пример 3. Решить уравнение

Почленно разделив на 3, окончательно получаем:

Пример 4. Решить уравнение

Почленно умножая на 2, окончательно получаем:

Замечание. Для решения уравнений в случае, когда удобнее пользоваться более простыми соотношениями:

если то то

если то то

если то то

2. Некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения (либо совокупности простейших тригонометрических уравнений). Рассмотрим основные методы сведения тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Метод сведения к квадратному уравнению. Суть метода в том, что данное уравнение нужно преобразовать к такому виду, чтобы можно было обозначить через y какую либо тригонометрическую функцию или комбинацию таких функций. В результате получают квадратное уравнение относительно y, решая которое приходят либо к простейшему тригонометрическому уравнению, либо к более простому уравнению.

Пример 5. Решить уравнение

_{так как}

 Пример 6. Решить уравнение

Δ Заметим, что

_{Подставим значение этого выражения в исходное уравнение:}

Метод группировки и разложения на множители.

Под разложением на множители будем понимать такое разложение, когда в правой части тригонометрического уравнения стоит число 0, а левая часть представлена в виде произведения нескольких сомножителей, содержащих тригонометрические выражения. После этого каждый из сомножителей приравнивается к нулю и затем решается совокупность более простых уравнений. Для разложения на множители могут быть применены известные формулы сокращённого умножения (см. Занятие 1), формулы суммы и разности тригонометрических функций (см. Занятие 7) и другие формулы.

Пример 6. Решить уравнение

Δ

Метод приведения к однородному уравнению.

О. 2.1. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

Например, (1)- однородное уравнение 1-ой степени;

(2) - однородное уравнение 2-ой степени, где А, В, С – некоторые числа.

Рассмотрим вначале решение уравнения (2). Пусть, например,

Предположим, что , тогда уравнение (2) примет вид:

чего не может быть, так как синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству:

Значит, и можно почленно разделить уравнение (2) на

Получим квадратное уравнение относительно тангенса

К уравнению (2) сводятся уравнения вида:

посредством формул синуса и косинуса двойного угла и представления числа 1 в виде Точно так же, при помощи деления на или решается уравнение (1).

Пример 7. Решить уравнение

Δ Перенесём все члены уравнения влево, а затем преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

Заметим, что уравнение совокупности является однородным уравнением 1-ой степени.

Метод введения вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида: где  a, b, c – числа (a, b .

 Разделим обе части этого уравнения на число

 

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно, как и (здесь - так называемый вспомогательный угол), и уравнение (3) принимает вид:

или

a) Если то уравнение , а значит и исходное уравнение не имеет решений.

б) Если то уравнение , а значит и исходное уравнение имеет решение:

где

Пример 8. Решить уравнение

Δ Здесь , поэтому делим обе части уравнения на