3 Виды аппроксимации частотных характеристик

3.1 Общие сведения об аппроксимации частотных характеристик

Основными требованиями, определяющими непосредственное назначение фильтра, являются требования к его избирательности. Исходя, прежде всего, из этих требований, решают первую часть общей задачи синтеза электрических фильтров — аппроксимацию.

Задача аппроксимации состоит в том, чтобы синтезировать некоторую функцию частоты, удовлетворяющую требованиям к АЧХ или ХРЗ разрабатываемого фильтра. Наиболее удобно функцию частоты представить в виде ХРЗ

(3.1)

где ε² – коэффициент, характеризующий степень постоянства (неравномерность) затухания (усиления) в полосе пропускания; F(w) – функция фильтрации, для которой желательны значения, близкие к нулю в полосе пропускания и как можно большие в полосе задерживания. Функция фильтрации в общем случае может быть дробной.

Известные в инженерной практике способы получения функции фильтрации ψ(w) и, следовательно, комплексной передаточной функции K(jω) удобно классифицировать по критерию аппроксимации АЧХ:

• равноволновое (равномерно колебательное) приближение в полосе пропускания и в полосе задерживания;

• равноволновое приближение в полосе пропускания;

• максимально плоское приближение в полосе пропускания.

В последних двух случаях затухание в полосе задерживания монотонно возрастает с удалением от граничной частоты. В качестве функции фильтрации может использоваться достаточно большое число разновидностей полиномов и дробей.

В теории фильтрации принято так называемое нормирование по частоте, приводящее расчет фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ЗФ), работающих на различных частотах, к расчету некоторого нормированного фильтра с определенной частотой среза. В качестве такого нормированного фильтра, называемого прототипом, принимается ФНЧ. При изображении характеристик ФНЧ-прототипа по оси абсцисс откладывается нормированная частота Ω _D =ω/ω _D, поэтому граничной частоте его полосы пропускания соответствует частота Ω _D =1.

3.2 Аппроксимация по Баттерворту

Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:

(3.2)

На рисунках 3.2.1 и 3.2.2 показаны аппроксимирующая функция

и квадрат модуля АЧХ

при порядке фильтра N=4.

Рисунок 3.2.1 – Аппроксимирующая функция

Рисунок 3.2.2 – Квадрат модуля АЧХ

Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет 20 N дБ/дек.

При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр

и на частоте

Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при

задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.

3.3 Аппроксимация по Бесселю

При выборе фильтра Бесселя расчет коэффициентов полиномов ведется из стремления аппроксимировать ФЧХ фильтра таким образом, чтобы запаздывание на всех частотах было одинаковым. Те фильтр Бесселя не искажает сигнал, спектр которого лежит в полосе пропускания. Вследствие чего переходная характеристика фильтра имеет очень малое перерегулирование. ЛАЧХ этого фильтра не колеблется ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра не дает о нем полной информации. Фильтр с плоской амплитудно-частотной характеристикой может иметь большие сдвиги фаз. В результате этого форма сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, будет искажена при прохождении через фильтр. В ситуации, при которой форма сигнала имеет первостепенное значение, желательно иметь в распоряжении линейно-фазовый фильтр (фильтр с постоянным временем запаздывания). Предъявление к фильтру требования обеспечения линейного изменения сдвига фазы в зависимости от частоты эквивалентно требованию постоянства времени запаздывания для сигнала, спектр которого расположен в полосе пропускания, т. е. отсутствия искажений формы сигнала. Фильтр Бесселя (также называемый фильтром Томсона) имеет наиболее плоский участок кривой времени запаздывания в полосе пропускания, подобно тому как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую амплитудно-частотную характеристику (рисунок 3.3.1). Плохая характеристика времени запаздывания фильтра Баттерворта обуславливает появление эффектов типа выброса при прохождении через фильтр импульсных сигналов. С другой же стороны, за постоянство времен запаздывания у фильтра Бесселя приходится расплачиваться тем, что его амплитудно-частотная характеристика имеет еще более пологий переходной участок между полосами пропускания и задерживания, чем даже у характеристики фильтра Баттерворта.

Рисунок 3.3.1 – Сравнение временных запаздываний для 6-полосных фильтров нижних частот Бесселя (1) и Баттерворта (2).

Фильтр Бесселя благодаря своим превосходным свойствам во временной области дает наименьшее искажение формы сигнала.

Фильтр Бесселя обладает хорошими свойствами во временной области по сравнению с фильтрами Баттерворта и Чебышева. Сам фильтр Чебышева при его весьма подходящей амплитудно-частотной характеристике имеет наихудшие параметры во временной области из всех этих трех типов фильтров. Фильтр Баттерворта дает компромисс между частотами и временными характеристиками. На рисунке 3.3.2 дана информация по рабочим характеристикам этих трех типов фильтров во временной области. По этим данным можно сделать вывод, что в тех случаях, когда важны параметры фильтра во временной области, желательно применять фильтр Бесселя.

Рисунок 3.3.2 – Сравнение переходных процессов 6-полюсных фильтров нижних частот. Кривые нормированы приведением значения ослабления 3 дБ к частоте 1 Гц. 1 - фильтр Бесселя; 2 - фильтр Баттерворта; 3 - фильтр Чебышева (пульсации 0.5 дБ).

Если фазо-частотная характеристика представляет собой прямую линию и определяется соотношением

() = - , (3.3)

где — постоянное число, то находим время замедления (см рис.3.3.1)

(3.4)

Таким образом, линейная фазо-частотная характеристика (прямая линия) характеризуется постоянным временем замедления, что важно для многих применений фильтров. Фильтр, для которого время замедления практически постоянно (в пределах некоторого заданного диапазона частот _С), является, следовательно, фильтром с линейной фазой или постоянным временем замедления.

Наилучшим из полиномиальных фильтров с постоянным временем замедления является фильтр Бесселя, передаточная функция которого имеет вид:

V₂ / V₁ =Kb₀ / B_n(s), (3.5)

где K — коэффициент усиления фильтра, а B_n(s)—полином n-й степени

B_n(s) = sⁿ + b_n-1s^n-1 + … +b₁s + b₀,

где для k = 0, 1, 2, …, n,

(3.6)

Полином B_n(s) при _С = l относится к полиномам Бесселя, от которых и произошло название фильтра.

Характеристика времени замедления фильтра Бесселя максимально плоская, подобно амплитудно-частотной характеристике фильтра Баттерворта.

Для дальнейшего описания свойств линейности фазы и постоянства времени замедления фильтра Бесселя можно показать, что для

_С

время замедления монотонно спадает от его значения на частоте  = 0, равного

T(0) = 1 / _С, (3.7)

до значения на частоте =_С, которое составляет для n=2

(3.8)

для n = 3

(3.9)

и для n= 4

(3.10)

и т. д. Таким образом, при увеличении порядка фильтра время замедления все более приближается к постоянному значению. Время замедления спадает только на 1% его значения T(0) на частоте  = 2,71_С для n=5 и на частоте  = 3,52_С для n =6.

Поскольку фильтр Бесселя представляет собой полиномиальный фильтр нижних частот, то его передаточная функция аналогична функциям фильтров Баттерворта и Чебышева. Эту передаточную функцию можно представить в виде произведения функций второго порядка следующего вида:

(3.11)

и одной функции первого порядка (если n — нечетно)

(3.12)

Коэффициент усиления звена в каждом случае равен K, а список коэффициентов В и С различных звеньев приведен в приложении Д для порядков n=2, 3, . . ., 6.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Бесселя монотонно спадает от расположенного на нулевой частоте максимального значения. Следовательно, она имеет сходство с характеристикой фильтра Баттерворта, за исключением того, что крутизна нарастания затухания гораздо меньше. Частота _С представляет собой не частоту среза, а частоту, определяющую диапазон постоянного времени замедления. Для заданного времени замедления T(_С) можно приблизительной найти частоту _С или f_с = _С /2; (Гц) из следующего соотношения:

(3.13)

Частота среза или частота по уровню 3 дБ для n  3

Поскольку фильтр Бесселя представляет собой полиномиальный фильтр нижних частот, то его можно реализовать на основе методик, приведенных описанных в п2.