Сложные функции.

Определение. Пусть даны функции . Функция вида называется сложной (композицией) функции на функцию .

Чтобы найти значение сложной функции , сначала необходимо по независимой переменной вычислить значение , а затем по найденному значению найти значение . При этом функцию называют внутренней функцией композиции, а функцию – внешней функцией композиции.

Правила построения графиков функций.

Пусть задан график функции . Справедливы правила:

1. График функции есть график функции , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси .

2. График функции есть график функции , сдвинутый (при вверх, при вниз) на единиц параллельно оси .

3. есть график функции , растянутый (при ) в раз и сжатый (при ) вдоль оси .

При график функции – зеркальное отображение графика функции от оси .

4. - график функции , сжатый в k раз при вдоль оси . При график функции - зеркальное отображение графика функции от оси .

Примеры.

I/Найти область определения функции .

1. .

Решение.

Функция представляет собой сумму функций. Область определения исходной функции состоит из всех значений , которые одновременно принадлежат области определения функций и .

Область определения подкоренного выражения неотрицательна, а логарифмической функции – положительные числа,

то решим систему неравенств:

Отметим на числовом луче точки и .

Следовательно, область определения исходной функции: .

2. .

Решение.

Функция представляет собой сумму функций. Область определения исходной функции состоит из всех значений , которые одновременно принадлежат области определения функций и .

Область определения логарифмической функции – множество положительных чисел, а значение подкоренного выражения неотрицательное, то область определения заданной функции определяется как совокупность значений , при которых одновременно выполняются неравенства и . Решим систему неравенств:

Т. к. функция положительная на промежутке , то решим систему неравенств:

Следовательно, область определения исходной функции промежуток:

.

3. .

Решение.

Oбласть определения исходной функции – отрезок , поэтому справедливо неравенство: , решим двойное неравенство: .

Перейдём к решению системы неравенств:

Следовательно, областью определения функции является

объединение промежутков .

4. .

Решение.

Функция представляет собой сумму функций; область определения исходной функции состоит из всех значений , которые одновременно принадлежат области определения функций: , и .

Область определения логарифмической функции – множество положительных чисел, а значение подкоренного выражения неотрицательное, областью определения функции является интервал , то область определения заданной функции определяется как совокупность значений х, при которых одновременно выполняются неравенства: и .

Решим систему уравнений:

Областью определения функции является объединение промежутков: . Заметим, что области определения функций и совпадают.

Для функции область определения - . Объединяя области определения всех трёх функций, получим - область определения данной функции.

II.Построить графики функций:

1.

Решение.

Проводим построение графика следующим образом:

1.Изобразим график функции .

2.Изобразим график функции , который получается сжатием графика функции вдоль оси .

3.Начертим график функции , который является зеркальным отображением графика относительно оси .

4.Построим график функции , который получается растяжением в 3 раза вдоль оси графика функции .

2. .

Решение.

- модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим:

Первоначально находим нули подмодульных выражений: и .

Это числа поэтому всю числовую ось разбиваем на промежутки . На каждом из них по определению раскрываем модули .

При имеем т. к. ; ,

т. к. , то при исходная функция примет вид:

Затем при т. к. т. к. , то при исходная функция примет вид:

При имеем , т. к. т. к. .

При исходная функция примет вид .

Для построения графика функцию запишем в кусочно – заданном виде

Теперь построим график этой функции.

3.

Решение.

Исследуемая функция представлена в кусочно – заданном виде. Построим сначала график функции . Для этого построим график функции . Он получается путём параллельного переноса графика функции вправо на одну единицу вдоль оси График функции получим путём сдвига на две единицы вверх вдоль оси графика функции .

Теперь построим график функции Его получаем путём сдвига вдоль оси вверх на четыре единицы параболы. График функции получен построением зеркального отображения относительно оси графика функции . Сдвигая на 2 единицы вверх по оси график функции , получаем график функции .

Заметим, что значение функции . Тогда значение функции На графике это отмечено точкой. А теперь, после проведённых рассуждений построим график исходной функции.

III. Записать функцию как функцию:

1. аргумента , полагая ;

2. аргумента , полагая ;

3. найти композиции , указать внутренние и внешние функции и схемы вычисления сложных функций.

1.

Решение.

1. Полагая , - независимая переменная. Функция будет иметь вид . Тогда

Эта функция вычисляется по следующей схеме:

2. Полагая . считаем зависимой переменной . Функция будет иметь вид . Тогда

Эта функция вычисляется по следующей схеме

2.

Решение.

1. Пусть . В данной функции переменная - зависимая переменная, - независимая переменная. Функция будет иметь вид . Тогда .

Эта функция вычисляется по следующей схеме

.

2. Полагая ( считаем зависимой переменной от переменной ). Функция будет иметь вид . Тогда .

Эта функция вычисляется по следующей схеме

IY. Найти общий вид функции , если она удовлетворяет условию:

1) .

Решение.

Область определения функции .

Найдём Далее, . Найдём функцию , и, наконец, найдём общий вид функции .