Часть 2
По
заданным узловым значениям исходной
функции (векторы 
и
)
записать систему линейных алгебраических
уравнений для расчета коэффициентов
кубического сплайна со свободным
закреплением концов. Решить полученную
систему в MathCAD
вычислительным блоком Given…find,
записать функцию
,
реализующую рассчитанный кубический
сплайн, считая, что за границами
рассматриваемого диапазона изменения
аргумента изменение функции
осуществляется соответственно по
начальному и конечному частям сплайна.
Построить в одном графическом шаблоне
рассчитанный кубический сплайн и узловые
значения исходной функции.
Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида
Для
определения коэффициентов
,
,
,
на всех
отрезках записывают и решают
линейных уравнений из условия непрерывности
функции
непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции
и условия свободного закрепления концов
функция,реализующая
рассчитанный кубический сплайн, считая,
что за границами рассматриваемого
диапазона изменения аргумента изменение
функции
в
одном графическом шаблоне изображены
рассчитанный кубический сплайн и
узловые значения исходной функции:
Часть 3
По заданным
узловым значениям исходной функции
(векторы 
и
)
методом наименьших квадратов построить
аппроксимирующий многочлен 
,
где 
φi(x)=xi.
Условия
построения аппроксимирующего многочлена
методом наименьших квадратов дают
систему линейных алгебраических
уравнений (в количестве m+1)
относительно неизвестных
.
Записать указанную систему уравнений
и решить её в MathCAD
с помощью вычислительного блока
Given…find.
Отобразить в одном графическом шаблоне
полученный аппроксимирующий многочлен
Pm(x)
и узловые значения исходной функции.
Рассчитать величину
(среднеквадратичного
отклонения) для полученного аппроксимирующего
обобщённого многочлена.
,
,
,
По
заданным узловым значениям исходной
функции (векторы 
и
)
методом наименьших квадратов определим
коэффициенты аппроксимирующего
обобщенного многочлена 
,
где φi(x)
- система базисных функций (в задании
даны степенные функции xi
).
Согласно метода наименьших квадратов
коэффициенты
определяются
из условия
. (1)
При
поиске минимального значения
необходимое
и достаточное условие
(2)
дает
систему из
линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных
.
Запишем систему (2) и решим ее в MathCAD
вычислительным блоком Given…find.
Экстремальная задача примет вид:
.
Параметры искомой зависимости находятся из системы:
Часть 4
Для
указанной функции g(x)
и рассматриваемого интервала
сформировать
в MathCAD
в виде ранжированных переменных N
отсчётных значений X1l
и Y1l=g(X1l)
(l=
,
h
– шаг между точками в интервале
.
Выполнить следующие виды приближений
таблично заданной функции при условии:
,
,
,
,
expfit
а) Реализовать в MathCAD по рассчитанным узловым значениям (векторы X1 и Y1) кусочно-линейную интерполяцию (функция linterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функции lspline, pspline, cspline, interp). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию g(x), узловые значения (векторы X1 и Y1) и четыре полученные интерполяционные функции.
б)
По узловым значениям (векторы
и
)
реализовать в MathCAD
В-сплайн
интерполяцию с различными степенями
заменяющих полиномов (
),
выбрав самостоятельно векторы точек
сшивок
.
В одном графическом шаблоне отобразить
исходную функцию 
,
узловые значения (векторы
и
),
три интерполяционные функции В-сплайнов
и соответствующие им точки сшивок.
линейная
интерполяция
квадратичная
интерполяция
кубическая
интерполяция
Графики:
в)
По узловым значениям (векторы
и
)
реализуем в MathCAD
линейную аппроксимацию (функции line,
medfit),
полиномиальную аппроксимацию (функции
regress
(в задании даны степени аппроксимирующих
полиномов) и loess
(параметр span
выбрать самостоятельно)), аппроксимацию
функциями специального вида (в задании
указана из функция expfit).
линейная
регрессия
полиномиальная
регрессия
регрессия
отрезками полиномов
аппроксимация
функцией специального вида
Задача 4
В
MathCAD
вычислить интеграл
указанным численным методом – методом
трапеций при заданном количестве
разбиений интервала интегрирования
(шаг интегрирования
)
и оценить погрешность применения данной
составной квадратурной формулы.
Для
вычисления интеграла по указанному
методу написать в MathCAD
функцию пользователя, в которой входным
параметром является количество
разбиений интервала интегрирования,
имя подынтегральной функции и пределы
интегрирования. Отобразить функции
,
и
(в соответствии с применяемыми методами)
на интервале
.
По оценке погрешности составной
квадратурной формулы интегрирования
указанным методом рассчитать количество
требуемых интервалов разбиения для
вычисления интеграла с заданной точностью
ε. Вычислить интеграл с этой точностью.
,
,
,
Вычисление интеграла при разных количествах разбиений:
В методе трапеций - оценка погрешностей:
Максимальное значение модуля второй производной на данном отрезке:
Оценки
погрешности для каждого N
необходимое
количество интервалов для достижения
заданной точности
