МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
( ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ )
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
О.Н. БУЛЫЧЁВА, В.П. ГРИГОРЬЕВ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
СБОРНИК РАСЧЁТНЫХ ЗАДАНИЙ
Методическое пособие
по курсу
"Высшая математика"
Под редакцией А.А.Амосова
Москва Издательство МЭИ 2006
УДК
512
Б 908
УДК : 512.64.001.24 (072)
Подготовлено на кафедре Математического моделирования
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А.А.Набебин
Булычёва о.Н., Григорьев в.П.
Высшая математика. Сборник расчётных заданий: Методическое пособие
по курсу "Высшая математика"/ Под ред. А.А.Амосова – М.: Издательство
МЭИ, 2006, – 60 с.
Содержится 18 задач типового расчёта по темам дисциплины "Алгебра
и аналитическая геометрия", а также по теме "Комплексные числа".
Предназначено для студентов всех направлений АВТИ и других инсти-
тутов МЭИ.
––––––––––––––––––––––
Учебное издание
Булычёва Ольга Николаевна, Григорьев Валерий Петрович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Сборник расчётных заданий
Методическое пособие
по курсу "Высшая математика"
– 3 –
З А Д А Ч А №
1 : по данным матрицам А, В, С, D и числам
и
вычислить матрицу G =
A B +
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 1 = 1 = – 7
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 2 = 4 = – 4
А =
; B =
;C
=
;D
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 3 = 2 = – 2
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 4 = – 4 = 8
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 5 = 8 = – 2
А =
;
B =
;
C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 6 = – 6 = 7
А =
;
B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 7 = – 2 = 10
А =
;
B =
;
C =
;
D =
– 4 –
В А Р И А Н Т № 8 = – 1 = 7
А =
; B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 9 = – 4 = 6
А =
;
B =
;C
=
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 10 = 7 = – 1
А =
;
B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 11 = – 4 = 9
А =
;
B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 12 = 3 = – 1
А =
;
B =
;C
=
;D
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 13 = 2 = – 3
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 14 = – 6 = 6
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 5 –
В А Р И А Н Т № 15 = 4 = – 10
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 16 = 3 = – 3
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 17 = – 4 = 6
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 18 = 3 = – 3
А =
;B
=
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 19 = – 2 = 1
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 20 = 2 = – 2
А =
;
B =
;
C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 21 = – 5 = 6
А =
;
B =
;
C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 6 –
В А Р И А Н Т № 22 = 6 = – 7
А =
;B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 23 = – 6 = 9
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 24 = 3 = – 3
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 25 = 6 = – 6
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 26 = 4 = – 9
А =
; B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 27 = 4 = – 7
А =
; B =
;C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 28 = – 2 = 4
А =
; B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 7 –
В А Р И А Н Т № 29 = 1 = – 3
А =
; B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 30 = 3 = – 1
А =
; B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 31 = – 7 = 10
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 32 = 9 = – 4
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 33 = 3 = – 1
А =
; B =
;C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 34 = 2 = – 7
А =
; B =
; C =
; D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 35 = – 1 = 3
А =
; B =
; C =
;
D =
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 8
–
З А Д А Ч А №
2 : для данной матрицы А найти обратную
матрицу
и
выполнить проверку результата
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 1 В А Р И А Н Т № 2 В А Р И А Н Т № 3 В А Р И А Н Т №4
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 5 В А Р И А Н Т № 6 В А Р И А Н Т № 7 В А Р И А Н Т № 8
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 9 В А Р И А Н Т № 10 В А Р И А Н Т № 11 В А Р И А Н Т №12
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 13 В А Р И А Н Т № 14 Р И А Н Т № 15 В А Р И А Н Т №16
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 17 В А Р И А Н Т № 18 В А Р И А Н Т № 19 В А Р И А Н Т №20
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 21 В А Р И А Н Т № 22 В А Р И А Н Т № 23 В А Р И А Н Т №24
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 25 В А Р И А Н Т № 26 В А Р И А Н Т № 27 В А Р И А Н Т №28
A
=
A
=
A
=
A
=
– 9 –
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 29 В А Р И А Н Т № 30 В А Р И А Н Т № 31 В А Р И А Н Т №32
A
=
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В А Р И А Н Т № 33 В А Р И А Н Т № 34 В А Р И А Н Т № 35
A
=
A
=
A
=
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
З А Д А Ч А № 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами : по правилу Крамера и методом Гаусса
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 1 ВАРИАНТ № 2
9 x1 – 5 x2 – 4 x3 – 2 x4 = 2 8 x1 – 5 x2 – x3 – x4 = – 50
– 6 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 2 x4 = – 8 – 10 x1 + 5 x2 – x3 – x4 = 80
– x1 + 6 x2 – x3 – 2 x4 = 29 x1 + 6 x2 + 2x3 – 2 x4 = 15
x1 – 9 x2 – 10x3 – 4 x4 = 4 – 3 x1 – 6 x2 – 10x3 – 8 x4 = 83
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 3 ВАРИАНТ № 4
5 x1 – x2 – 9 x3 – 2 x4 = – 11 4 x1 – 2 x2 – 6 x3 – x4 = 45
– 3 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 2 – x1 + 2 x2 – 2 x3 + x4 = 12
– 2 x1 + x2 – 3 x3 + x4 = – 28 x1 + 3 x2 + x3 + 5 x4 = 19
– 2 x1 – 5 x2 – 2 x3 – 2 x4 = – 23 x1 – 6 x2 – 8 x3 – 8 x4 = 17
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 5 ВАРИАНТ № 6
5 x1 – 4 x2 – 8 x3 – 6 x4 = 3 5 x1 – x2 – 8 x3 – 10 x4 = 12
– 6 x1 + 4 x2 + 2 x3 + x4 = 3 – 3 x1 + x2 – x3 + x4 = 5
x1 + x2 – x3 + x4 = 7 – 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 6 x4 = – 28
– 5 x1 – 4 x2 – 4 x3 – 10 x4 = – 19 – 2 x1 – 5 x2 – 7 x3 – 10 x4 = 61
_________________________________________________________________________________
– 10 –
ВАРИАНТ № 7 ВАРИАНТ № 8
2 x1 – 9 x2 – 3 x3 – 4 x4 = 68 8 x1 – 3 x2 – 3 x3 – 4 x4 = 77
– 7 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 = – 65 – 3 x1 + x2 – 3 x3 – 3 x4 = 7
2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 = – 12 – 5 x1 + 5 x2 – 3 x3 + 2 x4 = – 51
x1 – 4 x2 – 10 x3 – 9 x4 = 77 x1 – 4 x2 – 5 x3 – 10 x4 = 94
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 9 ВАРИАНТ № 10
8 x1 – 3 x2 + x3 – x4 = – 46 4 x1 – 4 x2 – x3 – x4 = 31
– 7 x1 + 4 x2 – 3 x3 – 7 x4 = 10 – 7 x1 + x2 + x3 + 2 x4 = – 34
– 5 x1 + 2 x2 + x3 + 5 x4 = 54 x1 + x2 – x3 – 2 x4 = – 2
– 3 x1 – 10 x2 – 9 x3 – 4 x4 = – 123 – 3 x1 – 4 x2 – 3 x3 – 5 x4 = – 12
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 11 ВАРИАНТ № 12
4 x1 – 6 x2 – 2 x3 – 9 x4 = 7 6 x1 + x2 – 2 x3 – 2 x4 = – 15
– 4 x1 + 2 x2 – x3 – x4 = – 3 – 7 x1 – x2 + 3 x3 + x4 = 19
4 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 15 – x1 + 8 x2 + 4 x3 – 2 x4 = 13
x1 – 10 x2 – x3 – 5 x4 = – 20 4 x1 – 5 x2 – 3 x3 – 3 x4 = – 14
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 13 ВАРИАНТ № 14
4 x1 – x2 – 4 x3 – 3 x4 = – 12 x1 – x2 + x3 – 6 x4 = – 19
– 2 x1 + 4 x2 + 4 x3 – 4 x4 = – 2 x1 + 2 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 51
x1 + 7 x2 + 2 x3 + 6 x4 = – 6 – 2 x1 + 7 x2 – 4 x3 + 3 x4 = – 25
x1 + 4 x2 + x3 + x4 = – 6 x1 + 6 x2 + 4 x3 + x4 = 14
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 15 ВАРИАНТ № 16
4 x1 – 8 x2 – 7 x3 – 10 x4 = 98 2 x1 – x2 – 9 x3 – 5 x4 = 41
– 5 x1 – 2 x2 + 2 x3 – x4 = – 19 – 6 x1 + 6 x2 – 5 x3 – x4 = 30
– 2 x1 + x2 – x3 + x4 = – 15 – 5 x1 + x2 – 3 x3 – 3 x4 = 5
4 x1 + 7 x2 + 5 x3 + 8 x4 = – 43 x1 – 2 x2 – 2 x3 – 2 x4 = 4
_________________________________________________________________________________
– 11 –
ВАРИАНТ № 17 ВАРИАНТ № 18
4 x1 – 8 x2 – 3 x3 – x4 = – 11 4 x1 – 5 x2 – 9 x3 – 5 x4 = 47
– 3 x1 + x2 – 4 x3 – 6 x4 = 38 – 8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 23
x1 + x2 – 4 x3 + x4 = 20 x1 + x2 + x3 – 2 x4 = – 10
x1 – 10 x2 – 7 x3 – 10 x4 = 24 3 x1 – 3 x2 – 5 x3 – x4 = 20
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 19 ВАРИАНТ № 20
2 x1 – 2 x2 – 3 x3 – 4 x4 = 9 8 x1 – 3 x2 + x3 – x4 = 15
– 4 x1 + 4 x2 – x3 – 4 x4 = 53 – 7 x1 + 4 x2 – 3 x3 – 7 x4 = – 73
– x1 + x2 + x3 – x4 = 7 – 5 x1 + 2 x2 + x3 + 5 x4 = 23
x1 – 4 x2 – 3 x3 – 5 x4 = 9 – 3 x1 – 10 x2 – 9 x3 – 4 x4 = – 33
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 21 ВАРИАНТ № 22
10 x1 – 3 x2 – 7 x3 – 7 x4 = 1 8 x1 – 5 x2 – 2 x3 – 2 x4 = 35
3 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 13 – 2 x1 + 4 x2 – 4 x3 + x4 = – 8
3 x1 + 2 x2 – x3 – x4 = 17 – 2 x1 + x2 + 4 x3 + 4 x4 = – 11
– 4 x1 + 5 x2 + x3 + x4 = 15 4 x1 + x2 + 3 x3 + 10 x4 = 10
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 23 ВАРИАНТ № 24
– 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 14 9 x1 – 8 x2 + x3 – x4 = 78
– 7 x1 – 2 x2 – 2 x3 + 2 x4 = 30 – 2 x1 + x2 + 3 x3 – 3 x4 = – 11
x1 – x2 + x3 – 2 x4 = 10 – x1 + x2 + 3 x3 – x4 = – 14
– x1 + 6 x2 + x3 + 6 x4 = – 31 5 x1 + 2 x2 + 9 x3 + 7 x4 = – 38
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 25 ВАРИАНТ № 26
– 9 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 = 72 6 x1 – 6 x2 – 5 x3 – 8 x4 = 7
– 6 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 49 – 3 x1 + x2 + 4 x3 + x4 = – 16
x1 – 7 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 12 x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 10
2 x1 – 2 x2 – 9 x3 – 4 x4 = – 65 2 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 6 x4 = 27
_________________________________________________________________________________
– 12 –
ВАРИАНТ № 27 ВАРИАНТ № 28
– 3 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 7 x4 = – 18 8 x1 – 6 x2 + x3 – 4 x4 = 8
– 5 x1 + 4 x2 – x3 – 3 x4 = 24 – 5 x1 + x2 + 2 x3 – 2 x4 = 7
– 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 5 x4 = – 9 – 2 x1 + 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 30
2 x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x4 = – 19 – x1 + 8 x2 + x3 + 5 x4 = 23
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 29 ВАРИАНТ № 30
6 x1 – 5 x2 + x3 – 10 x4 = 57 2 x1 – 2 x2 – 3 x3 – 4 x4 = 37
x1 – x2 + x3 + x4 = – 10 4 x1 – 4 x2 + x3 + 5 x4 = 3
– 5 x1 + 7 x2 + x3 + 3 x4 = – 4 – x1 + x2 + x3 – x4 = – 1
– x1 + 4 x2 + 6 x3 + 5 x4 = – 29 – x1 + 4 x2 + 4 x3 + 5 x4 = – 43
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 31 ВАРИАНТ № 32
4 x1 – 3 x2 – 3 x3 – x4 = – 14 7 x1 + x2 + x3 – 6 x4 = 54
– x1 – 3 x2 + 3 x3 – 4 x4 = – 27 – 6 x1 + 3 x2 – 5 x3 + x4 = – 62
x1 + 5 x2 – 3 x3 + 5 x4 = 37 – 3 x1 + 5 x2 – 3 x3 + x4 = – 45
– 4 x1 + 7 x2 + 2 x3 + x4 = 27 – x1 + 2 x2 + 4 x3 + 8 x4 = – 19
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 33 ВАРИАНТ № 34
5 x1 – 4 x2 – 2 x3 – 5 x4 = 42 6 x1 – 8 x2 – 6 x3 – 7 x4 = – 12
9 x1 + x2 + 2 x3 + 5 x4 = 37 – 4 x1 + 4 x2 + 3 x3 – x4 = – 10
2 x1 – 8 x2 – 4 x3 + 3 x4 = 5 – 4 x1 + 4 x2 – 3 x3 + 6 x4 = 6
– x1 + x2 + x3 + 8 x4 = – 27 – x1 + 4 x2 + 10 x3 + 4 x4 = 18
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 35
10 x1 – 4 x2 – x3 – 6 x4 = – 7
– x1 + x2 + 3 x3 – 4 x4 = 15
x1 + 4 x2 + 2 x3 + x4 = – 18
3 x1 – 5 x2 – 3 x3 – 2 x4 = 9
_________________________________________________________________________________
– 13 –
З А Д А Ч А № 4. Найти ранг данной матрицы методом Гаусса.
_________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ № 1 ВАРИАНТ № 2
–
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 1 1 – 1 2 – 2 – 3 – 1 2 – 1 – 3 2 2
– 2 2 2 – 1 – 1 2 2 – 3 – 2 – 3 1 2
1 – 1 – 2 – 1 – 2 – 1 2 1 – 1 – 3 – 2 – 1
– 1 – 3 2 1 1 – 3 – 1 –1 – 1 – 1 –1 – 2
5 – 1 – 3 0 5 3 2 2 1 – 2 2 – 1
_________________________________________________________________________________