Нечеткие сети Петри.

Позволяют решать задачи нечеткого моделирования и нечеткого управления, в которых неопределенность имеет не стохастический характер или необъективный характер.

Лекция №6.

Планирование модельных экспериментов.

Представление результата моделирования.

Для проведения нормального исследования, необходимо составить план проведения экспериментов модели. При планировании модельных экспериментов, необходимо (основные):

1. Определить к какому классу относится моделируемая система (статическая, динамическая, стохастическая или детерменированная).

2. Определить какой режим будет моделироваться (стационарный, система находится в нормальном состоянии; переходный режим, когда система еще не вошла в нормальное состояние).

3. В течении какого времени следует наблюдать за поведением системы.

4. Какой объем испытаний, то есть повторных экспериментов сможет обеспечить требуемую точность оценок характеристик исследуемой системы.

Можно решать всё просто, взять по максимум, все режимы, все входные и выходные параметры, все менять и получать результат, самый простой подход. Это для начинающих, неопытных разработчиков. Возникают цели планирования экспериментов :

1. Сокращение времени испытаний, при соблюдении требований в точности и достаточности получаемых результатов.

2. Повышение информативности каждого эксперимента в отдельности.

Обычно планирование экспериментов и составлении плана экспериментов происходит в факторном пространстве. Факторное пространство – это множество внешних и внутренних характеристик, которые испытатель может контролировать в ходе подготовки и проведении эксперимента. Факторы могут носить как количественный, так и качественный характер. Если входе эксперимента может изменять значения уровней факторов, эксперимент называется активным, в ином случае пассивным( у нас пассивный эксперимент, менять ничего нельзя при выполнении). Обычно считается, что каждый из факторов имеет верхний и нижний пределы, расположенные симметрично вдоль некоторого нулевого уровня. Точка факторного пространства соответствующая нулевым факторам, называют центром плана. (центр плана, угол, скорость). Как правило план экспериментов строиться по одному, выходному параметру, который называется наблюдаемой переменной. При этом считаю, что значения наблюдаемых переменных складывается из двух параметров

Y=f(X) +e(x)

y- Значение наблюдаемой переменной

f(x) – функция отклика (неслучайная функция факторов).

e(x) – ошибка эксперимента (случайная величина).

X – Точка в факторном пространстве (определенно сочетание уровней факторов).

Обычно используется два основных варианта постановки задачи планирование эксперимента :

1. Из всех допустимых требуется выбрать такой план, который позволил бы получить наиболее достоверное значение функции отклика f(x) при фиксированном числе опытов – стратегическое планирование экспериментов.

2. Из всех допустимых требуется выбрать такой план, при котором статическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний – тактическое планирование эксперимента.

Стратегическое планирование экспериментов.

Основные задачи:

1. Идентификация и ранжирование факторов по их влиянию на значение наблюдаемой переменной. (сначала исследовать наиболее влияющие факторы). Разбить диапазон, от низ до верху, на несколько диапазонов, уровней.

По результатам ранжирования надо разделить факторы на 2 группы :

• Первичные, влияют наибольшим образом на наблюдаемую переменную (дальность и высота).

• Вторичные, в данный момент их мы не учитываем, но вообще влияние этих факторов пренебрегать нельзя(сопротивление воздуха и так далее).

2. Выбор уровней факторов. Происходит с учетов двух противоречивых требований

Требования к уровням факторов :

• Уровни фактора должны перекрывать весь возможный диапазон его изменения.

• Общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования.

Нахождение компромисса между требованиями и является целью стратегического планирования.

Методы и способы построения стратегического плана.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов, называется полно-факторный эксперимент (ПФЭ).

Общее число комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов :

N=Y₁*Y₂*….*Y_k где

Y_i – число уровней i-го фактора (I меняется от 1 до k).

Если число уровней для всех факторов одинаково :

N=m^k(м – число уровней)

Пример м=4, л =3, N = 43=64.

Самый простой подход с точки зрения разработчика, но много времени надо.

Частичный факторный эксперимент.

(факторный эксперимент- типа 2^k).

Для проверки границ.

Полный факторный эксперимент называют экспериментом типа 2k если число уровней каждого фактора равно двум. Формула позволяющая найти число опытов, необходимое для реализации всех возможный сочетаний уровней факторов имеет вид :

N=2^k где :

N –число опытов

k- число факторов

2-число уровней

Частичный факторный эксперимент.

Можно использовать, если отсутствует взаимовлияния факторов между собой.

На практике применяются различные методы построения факторного эксперимента:

1. Рандомизированный план. Случайные значения задаются на вход.

2. Латинский план (латинский квадрат). Применяет тогда, когда проводится эксперимент с одним первичным и несколькими вторичными факторами. (курсовик, первое, влияние скорости, вторичные угол и шаг, мы сами выбираем первичные и вторичные)

Если первичный фактор имеет N уровней, то для вторичного фактора так же берется N уровней. Выбор комбинаций этих уровней, проводится с помощью специальной процедуры. Пусть используется A- первичный, B,C – вторичные, число уровней – 4 , тогда план можно представить в виде матрицы, относительно уровню фактора A, при этом матрица строится таким образом, что бы в каждой строке, в каждой строке, конкретный уровень фактора А, встречался только 1 раз.

Было до этого 64, ПФЭ, а при помощи ЧФЭ стали 16.

3. Изменение факторов по одному. Один фактор проходит все уровни при фиксированном значении остальных, Применяется, для исследования, что бы понять как влияет каждый фактор в отдельности.

Тактическое планирование эксперимента.

Выбор методов определения необходимого числа испытаний относится к тактическому планированию эксперимента. Методы понижения дисперсии лежат в основе. В общем случае объем испытаний или величина выборки, необходимая для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от :

1. Вида распределения наблюдаемой переменной.

2. Коррелируемости между собой элементов выборки.

3. Наличие и длительности переходных режимов моделируемой системы.

Если такая информация отсутствует, то остается единственный способ повышения точности оценок, наблюдаемой переменной – это многократный прогон модели, для каждого сочетания уровней факторов. Такой подход называется формирование простой случайно выборки (ПСВ) :

N=N_c*N_t где :

N – общее число прогонов;

N_c – число сочетаний уровней факторов ;

N_t – число прогонов для каждого сочетания ;

Пример : N_c= 64; N_t = 10

N=64*10 = 640.

Желательно до начала испытаний определить минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность, а потом подтвердить свои расчеты.

Лекция.

Методы понижения дисперсии.

Основной недостаток методов основанных на простой случайно выборке – это медленная сходимость выборочных средних и истинным средним при увеличении числа прогонов. Для устранения этого недостатка, на практике применяют методы, которые называются методы понижения дисперсии. Их делят на 3 группы:

1. Активные методы. Предусматривают формирование выборки специальным образом.

2. Пассивные методы. Применяются после того, как выборка уже сформирована.

3. Косвенные методы. Для получения оценок наблюдаемой переменной, используются значения некоторых вспомогательных величин.

Выбор конкретного метода определяются спецификой модели и целями моделирования. Основное внимание уделяют методам снижающим влияние переходных периодов или процессов. Это объясняется тем, что наличие и длительность переходного режима оказывает существенное влияние на качество и точность результатов моделирования. Желательно что бы период перехода был как можно меньше и как можно меньше колебаний. Для того что бы это убрать, используются 3 подхода(АКТИВНЫЕ):

1. Увеличение длительности интервала или длительности прогона или время наблюдения.

2. Исключают из рассмотрения переходный период вообще.

3. Инициализирует модель при некоторых выбранных начальных значениях.

4. Метод повторения. Каждое значение переменной получают при помощи отдельного прогона модели, при этом все прогоны получаются при одних и тех же начальных условиях, но погрешность берется другая, обычно счетчик случайных чисел . Преимущество - статистическая независимость от предыдущих прогонов.

5. Метод подинтервала. Период наблюдение разбивается на N число равных подинтервалов. Начало каждого наблюдения, промежутка, совпадает с началом очередного отсчета. Получаем N точек. Достоинство – влияние переходных периодов, со временем уменьшается, и в установленном режиме получались бы более точные значения. Недостаток – значение наблюдаемой переменной, в начале i-го промежутка, учитывает (зависит от) результат предыдущего интервала.

Пассивные методы (применяются когда выборка уже есть):

1. Метод стратифицированной выборки. Вся выборка разделяется на части, слоями либо стратами, при этом стремятся к тому, что бы значения выборки элементов как меньше отличались внутри слоя, но как можно больше между слоями. Внутри каждого слоя производят случайную выборку значений элементов и вычисляем среднее значение. Полученное значение используются для вычисления максимального значения по выборке в целом.

Y=1/N * ∑ Ni * yi , i=1…k.

k – число слоев.

N- объем всей выборки в целом.

Ni – объем итого слоя.

Y – значении по выборке в целом, среднее.

Если считать что оценка Yi независимой, то дисперсия выборки в целом будет равна той же самой, только будет Dy=1 / N ∑ N * Dyi i=1….k

Суть – при удачного выборе слоев, дисперсия Dy будет предпочтительнее (мала), лучше чем при простой случайно выборке.

Косвенные методы

Косвенные – одни характеристики получить проще чем другие, и поэтому их и наблюдаем.

Температура печи – 1000 градусов, измерить реально невозможно, только косвенно.

Обработка и анализ результатов моделирования.

Оценка качества имитационной модели.

Оценка качества имитационной модели преследует 2 цели:

1. Проверить соответствие модели её назначению ( целям исследования).

2. Оценить достоверность и статистические характеристики результатов получаемых в ходе модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании, достоверность результатов определяется двумя основными факторами:

1. Корректным выбором математического аппарата для описания исследуемой системы.

2. Методической ошибкой присущей применяемым методическим методам.

При имитационном моделирование на результаты влияет ещё целый ряд дополнительных факторов. Основные из этих факторов являются:

1. Влияние на результатов датчиков случайных чисел при моделировании неопределенностей. Чем хуже датчик, тем больше погрешность.

2. Наличие не стационарных или переходных режимов работы модели.

3. Использование нескольких различным математических методов в рамках одной модели. Один метод может добавить такую погрешность, что модель можно загубить.

4. Зависимость результата моделирования от плана проведения эксперимента.

5. Влияние на результаты применяемые в модели рабочей нагрузки.

L=sin(x) не всегда гладкое.

Качество, пригодность, имитационной модели определяется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами. Основные из этих свойств : Адекватность , устойчивость, чувствительность.

Оценка адекватности.

Адекватность доказать невозможно. В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели той предметной области для изучения которой она разрабатывалась, но с учетом того, что модель создается практически всегда для проведения исследований только некоторого рода подмножества свойств предметной области. Поэтому можно считать что адекватность модели определяет степенью соответствия целям исследования. Для вновь проектированных систем, это определение соответствует на 100%. Для подтверждения адекватности модели используются методы статистики для доказательств адекватности. Суть – Есть гипотеза об адекватности модели, и эту гипотезу с помощью статистических критериев мы должны проверять. Критерии могут показать что они истины. Доказать можно сравнением результатов экспериментов модели с результатами реальной системы. Методы бывают:

1) По средним значениям откликам модели и системы.

2) По дисперсиям отклонений откликов модели средних значений модели и системы.

3)По максимальному значению относительно отклонению откликов модели откликов системы.

Оценка устойчивости.

Устойчивость модели – это способность модели сохранять адекватность на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а так же при изменении конфигурации системы. Универсального метода проверки устойчивости не существует. В общем случаем можно считать, что чем ближе структура модели, структуре исследуемой системе, и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость можно оценивать так же методами математической статистике. Надо выдвинуть гипотезу, При изменении входной нагрузки или структуры имитационной модели, закон распределения результатов моделирования остается неизменным.

Оценка чувствительности.

Чувствительность результатов исследований на входные условия.

Если изменения входных воздействий или внутренних параметров модели, в достаточно широком диапазоне, не отражается на значениям выходных переменных, то пользы от такой модели не много, говорят что модель грубая. Обычно её проводят по каждому параметру в отдельности. Достаточно распространенная и достаточно простая процедура оценивания, которая часто применяется