Практическое занятие № 2

«Решение систем линейных уравнений»

1. Цель: Выработать навыки решения систем линейных уравнений матричным методом, методами Крамера, Гаусса

2. Пояснения к работе:

2.1 Краткие теоретические сведения

2.1.1 Система линейных уравнений. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

(1)

где числа , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Подлежат нахождению числа . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме:

(2)

здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

вектор - столбец из неизвестных

вектор - столбец из свободных членов (3)

Расширенной матрицей системы называется матрица , дополненная столбцом членов

(4)

Решением системы называется значений неизвестных , , , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.

12

2.1.2 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

(5)

или в матричной форме . Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется главным определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим

Поскольку и , то

(6)

Отыскание решения системы по формуле (1) называют матричным методом решения системы.

Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение:

Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:

13

Союзная матрица будет следующей: . Вычислим обратную матрицу:

Найдем решение системы по формуле (6):

.

Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1).