29

Министерство образования украины

Донецкий государственный

Технический университет

Методические указания

и задания к расчетно-графической работе

по разделу курса высшей математики

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

(для студентов специальностей 7.080403

«Программное обеспечение автоматизированных систем»

и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)

Утверждено На заседании каф.Пм и и

22 марта 2000 г.

-ДонГТУ-

Донецк - 2000

УДК 517

Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А

– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30

Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .

Составители А.Е. Скворцов , доц .

А.А. Губарев , асс.

Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.

Рецензент

Часть1.Решение типовых задач аналитической геометрии

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ?

Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:

.

Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим

.

По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .

Ответ : ↑↓ и ≥ .

Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины :

, .

Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Ответ : искомый вектор имеет вид + .

Задача 3. Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .

Решение. Будем использовать известные условия , .

Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно .

Итак , имеем :

, , ибо ;

.

Из полученных соотношений делаем выводы :

1. векторы и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t=2 ;

2. векторы коллинеарны , если 2 t+1=0 ,т.е. t=-1/2

, ибо и неколлинеарны .

Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t=-1/2.

Ответ : при t=2 ; при t=-0,5 .

Задача 4. Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .

Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле

,

где , :

.

Итак , , т.е. , где .

Далее , используя второе условие , находим

, , т.е. .

Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .

Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ: .

Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .

Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :

, где - точка , принадлежащая прямой р, - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :

Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :

.

Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :

, или после упрощения

AD : 7x – y + 5 =0 .

Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки :

.

Берем и . Получаем :

или после упрощения

ВС : 2x – 11y + 30 = 0 .

Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений

или

Решив ее , например , методом Крамера ,

, ,

получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна

AD = d(A,D) = .

Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам

,

.

Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .

2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :

, где .

Имеем в нашей задаче :

АН= .

Уравнение высоты ищем в общем виде :

, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :

АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения

AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .

Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :

.

3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :

.

Итак ,

(ед.кв.) .

Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .

Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые

и

пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и .

Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и

В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :

Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :

.

Отсюда . Параметры найдены .

2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .

Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .

Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ):

, .

Вычислим эти расстояния :

;

;

;

= .

Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :

Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 .

Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) : и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .

Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M(x,y,z) . Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .

Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .

1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение

.

Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .

2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t :

или

Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим , откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .

Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : .

После упрощения получим

.

Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .

Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид

,

или после упрощения

α : .

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :

Найдем точку пересечения р и α :

,

откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .

Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений

.

В нашей задач имеем

.

После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника

.

Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы и лежат в β.

Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .

Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α : .

Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α параллельны плоскости β . Точка и , если - текущая точка β , то вектор лежит в плоскости β . Векторы и - компланарны . Запишем условие этого

.

После упрощения получаем β : . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :

(1)

Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:

.

Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид

.

Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через в направлении

.

Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных .

Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид

(2)

При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x,y) связаны с новыми известными формулами

После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :

.

Здесь :

Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы , т.е.

.

Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению

.

В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :

Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение

.

Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .

Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение .

Задача 11. Уравнение линии привести к нормальному виду .

Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :

Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :

(3) .

Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а=2 , мнимая b=3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы :

Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения

, т.е. .

Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы

Ответ: нормальное уравнение

Задача 12. Провести касательную q к линии : 1) , параллельную прямой 2) , перпендикулярную прямой 3) через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4) через точку N(5;-7) .

Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .

Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .

1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой , а именно (т.к. по условию ) . Уравнение касательной запишем в общем виде , а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений

должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим

.

Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие

.

Решая его , находим : Итак , имеется две касательные к , параллельные . Это

и .

2)Уравнение прямой запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : . И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : . А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система

имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b :

.

Откуда . Итак , имеется две касательных к , перпендикулярные :

, .

3)Линия - это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение

.

Из него находим : Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед положительный ) и имеют координаты . Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :

и .

Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :

.

Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :

.

Итак , искомая касательная имеет вид

4)Уравнение касательной будем искать в форме , где , а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае , а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система

имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :

.

Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для . Отсюда : Теперь можно составить уравнения искомых касательных :

и .

Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением

. (4)

Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :

.

В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :

. (5)

Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус и директриса .

Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию , то есть эта линия лежит левее прямой .Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .

Ответ: уравнение определяет восходящую ветвь параболы .

1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место указанное соотношение.

.

.

при всяких значениях и .

2. Найти вектор , удовлетворяющий указанным условиям.

где

где .

где

3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах.

3.19 – 25. Найти проекцию вектора на направление вектора .

4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж.

4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC.

4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA.

4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA.

4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC.

4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA.

4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA.

4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD.

4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника.

4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA.

4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM.

4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD.

4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA.

4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA.

4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD.

4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA.

4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA.

4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC.

4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC.

4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD.

4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA.

4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника.

4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC.

4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC.

4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD.

4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC.

5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее.

5.1. 4x² – y² –8x – 4y – 4 = 0.

2. x² + y² –2x – 4y + 1 = 0.

3. 4y² – 8x – 4y + 9 = 0.

4. x² – 4y² + 8y + 4 = 0.

5. x² + 2x + 4y – 7 = 0.

6. 4x² + 4y² – 8x – 24y + 31 = 0.

7. x² + 4y² + 4x – 8y + 4 = 0.

8. x² – y² – 6x – 4y + 1 = 0.

9. y² + 8x – 6y + 25 = 0.

10. x² + y² + 8x + 2y + 1 = 0.

11. 4x² + y² – 8x + 4y + 4 = 0.

12. 4x² – y² – 8x – 6y – 9 = 0.

13. y²- 16x + 6y + 25 = 0.

14. 2x² + 2y² + 16x – 28y + 53 = 0.

15. x² + 9y² –2x +18y + 1 = 0.

16. x² – 4y² – 8x +8y + 16 = 0.

17. x² – 4x – 4y + 12 = 0.

18. x² + y² – 8x + 2y + 16 = 0.

19. 9x² + 4y² – 18x + 24y + 9 = 0.

20. x² – 9y² – 8x + 18y – 2 = 0.

21. 3x² + 3y² – 42x + 6y + 146 = 0.

22. y² + 10x – 10y + 55 = 0.

23. 9x² – 16y² – 36x + 32y + 164 = 0.

24. y² – 20x – 14y + 37 = 0.

25. 9x² + 16y² – 18x + 96y + 9 = 0.

6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

6.15. 6.16.

6.17. 6.18.

6.19. 6.20.

6.21. 6.22.

6.23. 6.24.

6.25.

7.1-8.Провести касательные к линии l , параллельные прямой p.

7.1. l: , p: 2x+y-7=0.

7.2. l: , p: 4x-2y+23=0.

7.3. l: , p: 10x-3y+9=0.

7.4. l: , p: 3x-2y+13=0.

7.5. l: , p: 3x-4y+7=0.

7.6. l: , p: 2x+2y-13=0.

7.7. l: , p: x-y-7=0.

7.8. l: , p: 2x-y+3=0.

7.9-16.Провести касательные к линии l , перпендикулярные прямой p.

7.9. l: , p: x-2y+9=0.

7.10. l: , p: 2x-2y-5=0.

7.11. l: , p: 4x+3y-7=0.

7.12. l: , p: 4x+2y-1=0.

7.13. l: , p: y-2x-4=0.

7.14. l: , p: 3x-2y-6=0.

7.15. l: , p: 5x+2y+8=0.

7.16. l: , p: x+y-17=0.

7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l .

7.17. M(-9;3), l: .

7.18. M( 2;2), l: .

7.19. M(0;-6), l: .

7.20. M(0;11), l: .

7.21. M( 7;0), l: .

7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l .

7.22. l : .

7.23. l : .

7.24. l : .

7.25. l : .

8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении.

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12 )

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

18. 

19. 

20. 

21. - пересекаются

22. p и q – пересекаются

23. p и q – пересекаются

24. 

25. 

9. Составить уравнение плоскости и найти расстояние точки N от неё. Выяснить, лежат ли точка N и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости .

9.1 А .

9.2 .

9.3 .

9.4 линии пересечения плоскостей

.

9.5 .

9.6 .

9.7 .

9.8 .

9.9 .

9.10 проходит через линию пересечения плоскостей

.

9.11 .

9.12

.

9.13 .

9.14 .

9.15 .

9.16 .

9.17 .

9.18 .

9.19 .

9.20 .

9.21 .

9.22 .

9.23 .

9.24 .

9.25

10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов.

1. N (-1,2,-3) , p|| q: .

2. N (2,2,5) , p ={1,2,0}, ={0,3,7}.

3. N (1,0,5) , p|| : 3x-y+7z=0 , p пересекается с прямой

q: = =

4. N (2,-3,1) , p ={2,1,-1} , p пересекается с прямой q: .

5. N (3,1,0) , p|| : x-3y+z-1=0 , p|| : 2x+3y+z+3=0.

6. N (4,-3,1) , p|| : x+2y-3z-1=0 , p пересекается с прямой .

7. N (5,7,-5) , p q: = = , p и q – пересекаются.

8. N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q: и r: .

9. N (4,1,-3) , p ={3,-2,1} , p пересекается с прямой q: = = .

10. N (5,7,3) , p пересекается с прямой q: и p q.

11. N (7,1,1) , p ={3,4,-1} , p|| : 2x-3z+6=0.

12. N (-2,3,1) , p : 3x+y+3=0 , p|| : 2y-z+1=0.

13. N (4,2,1) , p ={7,1,2} , p q: .

14. N (2,3,2) , p : 3x-2y+z-2=0 , p ={2,0,1}.

15. N (-3,-,5) , p|| :2x-3y-z+1=0 , p q: .

16. N (1,7,9) , p q: , p и q –пересекаются.

17. N (2,-3,-5) , p ={2,-1,-3} , p q: .

10.18 N (7,-3,1) , p ={1,-1,2} , p пересекается с прямой q: .

10.19 N (-1,2,1) , p ={3,5,1} , p ={1,2,2}.

10.20 N (6,3,7) , p :3x-y+z-2=0 , p q: = = .

21. N (4,2,2) , p q: , p r: = = .

22. N (1,1,3) , p|| :2x-3y-z=0 , p q: .

23. N (5,0,1) , p|| :x-3y+z=0 , p|| :2x+3z-1=0.

24. N=q , где q: = = , :2x+7y-z+0 ,p|| r: .

25. N=q , где, : x+2y+z-13=0 , p .

11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью из задачи 9.

12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость .

12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p.

12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости или прямой р .

12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются.

12.16-18.Составить уравнение плоскости ,проходящей через прямую р и параллельную прямой q.

12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q .

12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость .

Список рекомендованной литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с.

2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с.

3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с.

4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с.

5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с.

6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с.

7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с.

Содержание