Сравнение вещественных чисел.
Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).
Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с.
Отношение > обладает следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа a, b и с:
Если а>b и b>с, то а>с.
Если а>b, то а+с>b+с.
Если а>0 и b>0, то а·b>0.
Вместо а>b пишут также b<a (меньше).
Запись аb (или, что то же, bа) обозначает, что либо а=b, либо a>b.
Определение 4: Соотношения а<b, аb, a>b, ab называются неравенствами.
Определение 5: Неравенства а<b, a>b называются строгими неравенствами. Неравенства аb, ab называются нестрогими неравенствами.
Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а>0, называется положительным, неравенству а<0,— отрицательным, неравенству а≥0,— неотрицательным, неравенству а≤0,— неположительным.
Непрерывность вещественных чисел.
Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хХ и yY выполняется неравенство ху, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства
хсу.
Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.
Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.
Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.
Конечные числовые промежутки |
||||
|
|
{x| axb}=[a; b] |
замкнутый промежуток (интервал) |
отрезок |
сегмент |
|
|
{x| a<xb}=(a; b] |
полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) |
полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок |
полусегмент |
|
|
{x| ax<b}=[a; b) |
полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) |
полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок |
полусегмент |
|
|
{x| a<x<b}=(a; b) |
открытый промежуток (интервал) |
|
|
Бесконечные числовые промежутки |
||||
|
|
{x| ax}=[a; +) |
полуинтервал |
закрытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| a<x}=(a; +) |
интервал |
открытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| xb}=(-; b] |
полуинтервал |
закрытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| x<b}=(-; b) |
интервал |
открытый луч |
полупрямая |
|
|
{x| -<x<+}=(-; +) |
множество всех вещественных чисел |
числовая прямая |
прямая |
Простейшие логические символы
- знак логического следования |
|
означает «из предложения следует предложение » |
- знак равносильности (тогда и только тогда, когда) |
|
означает «предложение равносильно предложению », то есть «из следует и из следует » или « выполняется тогда и только тогда, когда выполняется » |
- квантор1 всеобщности (2) |
х |
означает «для любого х», или «для всякого х» |
- квантор существования (3) |
х |
означает «существует х», или «найдётся х» |
! – знак единственности |
х!у |
означает «для любого х существует и притом единственный у» |
: – «имеет место», «такое что» |
х!у: х+у=0 |
означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
– «имеет место», «такое что» |
х!у х+у=0 |
означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
() – знак принадлежности (не принадлежности) |
хХ (уY) |
означает «элемент х принадлежит множеству Х», или «элемент у не принадлежит множеству Y» |