Правило умножения периода правильной дроби на натуральное число n
Если при умножении периода дроби на N количество цифр в произведении равно количеству цифр в периоде исходного числа, то период результата равен полученному произведению, следует перейти к п.6, иначе перейти к п.2;
«лишними» цифрами будем считать m-k первых слева цифр результата, где m – количество цифр в результате, k – количество цифр в периоде исходной дроби;
Сложим число, образованное «лишними» цифрами, с числом, образованным правыми k цифрами промежуточного результата;
Если количество цифр в получившемся результате сложения больше, чем k, то процесс следует повторить с п.2;
Если количество результата сложения стало равным количеству цифр периода исходной дроби, то период произведения равен последнему результату суммирования;
Непериодическая (целая – для чисто периодических дробей) часть результата равна сумме чисел, образованных из «лишних» цифр каждого этапа.
Если же у исходной дроби изначально была своя непериодическая часть, то умножить также следует и ее, а затем сложить с результатом умножения периода.
Пример 10
0,(09)·8=0,(72), т.к. количество цифр произведения равно количеству цифр периода исходного числа.
Пример 11
0,(7)·16
Так как 7*16=112, то «лишними» являются две левые цифры, образующие число 11.
Т.к. 11+2=13, то снова сложим «лишнее» число 1 с правой цифрой.
1+3=4 – это период результата.
Сложив «лишние» числа, получим целую часть результата.
11+1=12
0,(7)·16=12,(4)
Пример 12
0,7(6)·12
Сначала умножим на 12 периодическую часть дроби: 6*12=72.
7+2=9 – период результата.
Непериодическая часть результата равна «лишнему» числу 7.
Т.о., 0,0(6)*12=0,7(9).
Умножив непериодическую часть дроби на 12, получим 0,7*12=8,4.
0,7(6)·12=8,4+0,7(9)=9,1(9)≈9,2
Теперь рассмотрим примеры перевода периодических дробей в любую с.с. по основанию q.
Пример 13
0,7(6)10→А12
0,7(6)*12=9,1(9) |
9 |
0,1(9)*12=1,2+0,0(9)*12=1,2+1,1(9)=2,3(9)=2,4 |
2 |
0,4*12=4,8 |
4 |
0,8*12=9,6 |
9 |
0,6*12=7,2 |
7 |
0,2*12=2,4 |
2-повтор |
0,7(6)10=0,9(2497)12
Пример 14
0,(3)10→А2
0,(3)*2=0,(6) |
0 |
0,(6)*2=1,(3) |
1 |
0,(3)*2=0,(6) |
0-повтор |
0,(3)10=0,(01)2
Второй способ перевода основывается на том, что любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, затем числитель и знаменатель этой дроби перевести в новую с.с. по основанию q и выполнить деление в новой с.с.
Пример 15
1 |
11 |
0 |
0,(01) |
10 0 |
|
100 11 |
|
1 |
|
Упражнения
Упражнение 1. В какой системе счисления возможна запись следующих чисел 581, 203, F01 и A01.
Упражнение 2. Выпишите первые 10 чисел натурального ряда в системе счисления по основанию 6.
Упражнение 3. Какое число следует за числом 113 в 4-ой системе счисления?
Упражнение 4
Дано десятичное число. Перевести его в с.с. по основанию q.
Таблица 2
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№В |
Число |
с. с. q |
№В |
Число |
с. с. q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25,21 |
5 |
|
212,3 |
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1023,05 |
16 |
|
35,25 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
23,01 |
4 |
|
1,303 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
120,058 |
16 |
|
78,12 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
125,6 |
13 |
|
5,203 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
26,4 |
3 |
|
7,421 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1002,02 |
9 |
|
65,65 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1250,22 |
16 |
|
2,05 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
27,15 |
2 |
|
45,03 |
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
405,25 |
4 |
|
65,9 |
3 |
Упражнение 5
Дано число в десятичной системе счисления (см. Таблица 3). Перевести число в заданную систему счисления. Найти цифру, стоящую на указанной позиции после запятой.
Таблица 3
№ |
число |
с. с. |
№ позиции |
№ |
число |
с. с. |
№ позиции |
1 |
12,45 |
8 |
1934 |
11 |
27,4 |
8 |
1981 |
2 |
22,6 |
3 |
1918 |
12 |
16,95 |
8 |
1980 |
3 |
17,8 |
4 |
1812 |
13 |
56,95 |
4 |
1985 |
4 |
14,4 |
8 |
1945 |
14 |
21,775 |
5 |
1983 |
5 |
15,45 |
7 |
1958 |
15 |
6,575 |
4 |
1999 |
6 |
19,02 |
16 |
1981 |
16 |
34,575 |
8 |
1998 |
7 |
23,06 |
16 |
1951 |
17 |
7,675 |
8 |
1991 |
8 |
35,08 |
16 |
1954 |
18 |
9,675 |
9 |
1989 |
9 |
21,35 |
4 |
2001 |
19 |
43,275 |
4 |
2002 |
10 |
19,8 |
8 |
2000 |
20 |
52,775 |
16 |
1900 |
Упражнение 6
Выполнить четыре арифметических действия (+ , –, *, /) над числами А и В в заданной системе счисления (см. Таблица 4).
Таблица 4
№В |
А |
В |
Система счисления |
|
|
110 |
0,11 |
2 |
|
|
111,1 |
10,1 |
2 |
|
|
1010,011 |
11,01 |
2 |
|
|
110101,1 |
11,01 |
2 |
|
|
11101,0111 |
101,1 |
2 |
|
|
12,2 |
20,11 |
3 |
|
|
45,45 |
7,123 |
8 |
|
|
123,44 |
22,305 |
6 |
|
|
240,1 |
3,02 |
6 |
|
|
8D4,22 |
A1,4 |
16 |
|
|
2B,05 |
9,D01 |
16 |
|
|
55,02 |
17,17 |
8 |
|
|
44,02 |
3,3 |
5 |
|
|
7012,3 |
4,2 |
8 |
|
|
1020,22 |
12,1 |
3 |
|
|
0,F4 |
12,7A |
16 |
|
|
AA,3 |
5,07 |
16 |
|
|
23,02 |
2,11 |
4 |
|
|
18,05 |
15,2 |
9 |
|
|
25,16 |
6,077 |
8 |
Упражнение 7
Определить существует ли система счисления, в которой все три равенства (см. Таблица 5) выполняются одновременно. Если такая система существует, то определить ее основание.
Таблица 5
№ |
Равенство1 |
Равенство 2 |
Равенство 3 |
№ |
Равенство1 |
Равенство2 |
Равенство 3 |
1 |
3+4=7 |
3*4=14 |
27+37=66 |
11 |
4+5=10 |
4*5=24 |
39+29=70 |
2 |
5+6=14 |
5*6=55 |
11+46=60 |
12 |
4+2=12 |
4*2=20 |
21+13=40 |
3 |
2+6=11 |
5*6=42 |
10+12=22 |
13 |
5+1=10 |
5*1=5 |
25+11=40 |
4 |
3+5=12 |
3*5=23 |
12+14=30 |
14 |
6+3=14 |
6*3=24 |
40+12=52 |
5 |
6+6=15 |
6*6=51 |
12+15=30 |
15 |
4+7=12 |
4*7=23 |
41+15=46 |
6 |
2+1=10 |
12*10=120 |
21+1=22 |
16 |
3+7=12 |
3*7=25 |
35+14=51 |
7 |
4+3=12 |
4*3=22 |
14+11=30 |
17 |
4+5=11 |
4*5=24 |
27+33=62 |
8 |
8+8=17 |
8*8=71 |
14+16=31 |
18 |
2+6=11 |
2*6=15 |
41+15=46 |
9 |
11+6=20 |
6*5=42 |
14+10=24 |
19 |
2+6=12 |
2*7=22 |
22+51=73 |
10 |
5+8=14 |
5*8=44 |
11+12=23 |
20 |
6+3=30 |
6*3=60 |
11+12=30 |
Упражнение 8
Выполнить перевод числа, заданного в с. с. q1 –ой с.с. в новую с. с. q2 с. с. методом деления и умножения на основание новой с.с.
Таблица 6
№В |
Исходное число |
Исходная q1 с. с. |
С.с. q2 |
№В |
Исходное число |
Исходная q1 с. с. |
С.с. q2 |
|
|
13,8 |
9 |
16 |
|
45,23 |
7 |
10 |
|
|
202,45 |
7 |
3 |
|
D0,25 |
16 |
10 |
|
|
10011,11 |
2 |
3 |
|
361,44 |
7 |
9 |
|
|
F23,D |
16 |
5 |
|
1101011,11 |
2 |
5 |
|
|
12,A |
16 |
7 |
|
452,081 |
9 |
4 |
|
|
12,02 |
3 |
5 |
|
3A,2 |
16 |
5 |
|
|
56,23 |
7 |
9 |
|
12,7A |
12 |
16 |
|
|
22,012 |
3 |
4 |
|
AA,32 |
12 |
10 |
|
|
410,2 |
5 |
8 |
|
2103,5 |
7 |
13 |
|
|
334,01 |
5 |
2 |
|
4710,25 |
8 |
10 |
Упражнение 9
Третья цифра шестнадцатеричного числа равна 9. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 2B7A16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________
Третья цифра шестнадцатеричного четырехзначного числа равна 1. Последнюю цифру переставили в начало числа. Полученное число оказалось на 4A7916 больше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
Вторая цифра шестнадцатеричного числа равна 5. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 3F1B16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
Вторая цифра шестнадцатеричного числа равна 3. Первую цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 1F2С16 меньше исходного. Исходное число, записанное в системе счисления по основанию 16 равно_________.
Трехзначное число, записанное в 16-ой с.с., увеличивается втрое от перестановки первой цифры в конец числа. Найдите исходное число.
Упражнение 10
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
Упражнение 11
Восстановите двоичные цифры в приведенных примерах:
**0*0*1**12+10111*10**2=100*1*000102;
*1*0**002 – 11*11*112=10*12;
***0**002 – 11*11*112=1101*12.
Упражнение 12
Даны числа в 4-ой системе счисления от 1до 33. Выпишите все числа, делящиеся на 3 без остатка.
Упражнение 13
Выполнить умножение десятичной периодической дроби на заданное натуральное число.
Таблица 7
№В |
Периодическая дробь |
Натур. число |
№В |
Периодическая дробь |
Натур. число |
|
|
0,(1) |
12 |
|
0,(45) |
6 |
|
|
0,(15) |
3 |
|
0,(123) |
2 |
|
|
0,(81) |
7 |
|
0,00(15) |
8 |
|
|
0,(19) |
16 |
|
0,00(21) |
13 |
|
|
0,(48) |
10 |
|
0,31(02) |
12 |
|
|
0,0(23) |
5 |
|
0,11(16) |
16 |
|
|
0,0(18) |
16 |
|
0,20(24) |
5 |
|
|
0,1(7) |
8 |
|
0,12(88) |
5 |
|
|
0,2(15) |
4 |
|
0,000(112) |
12 |
|
|
0,5(22) |
2 |
|
0,0(121) |
3 |
Упражнение 14
Выполнить перевод заданной периодической дроби в заданную систему счисления q.
Таблица 8
№В |
Периодическая дробь |
Система счисления |
№В |
Периодическая дробь |
Система счисления |
|
|
0,(1) |
2 |
|
0,(45) |
6 |
|
|
0,(5) |
3 |
|
0,(123) |
2 |
|
|
0,(8) |
7 |
|
0,0(15) |
16 |
|
|
0,(9) |
16 |
|
0,21(21) |
3 |
|
|
0,(8) |
2 |
|
0,6(02) |
12 |
|
|
0,(23) |
5 |
|
21,5(6) |
16 |
|
|
0,(18) |
16 |
|
621,2(24) |
5 |
|
|
0,0(7) |
8 |
|
0,12(8) |
5 |
|
|
0,0(15) |
4 |
|
12,(12) |
12 |
|
|
0,5(22) |
2 |
|
12,0(81) |
3 |