5) Теорема о циркуляции электростатического поля. Потенциальность электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда.

Представим себе пустое, «чистое» пространство. Теперь внесём сюда электрический заряд. При появлении заряда в пространстве оно приобретает свойство силового действия на другой заряд. Это видоизменённое пространство получило название электростатическое поле.

Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю. Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории. Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила: . Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю: . Это уравнение, упростив, запишем так: . Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение — элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении : , здесь q = 1 — единичный заряд. При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать по замкнутому контуру L: . Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости — это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда. Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю: . Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Вычислим работу электрической силы на элементарном перемещении dl заряда q в электростатическом поле : . Но с другой стороны, эту же работу можно связать с разностью потенциалов (1 – 2) = –(2 – 1) = –d: . Объединив (3.21) и (3.22), получим: Eldl = –d. Или: , где El — проекция вектора напряжённости поля на направление перемещения, а — изменение потенциала при переходе в поле из точки 1 в точку 2. Записав напряженность для направлений x, y и z, получим соответствующие составляющие (проекции) вектора напряжённости: Первое уравнение этой системы означает, что проекция вектора напряжённости на ось x равна частной производной потенциала по x, взятой с противоположным знаком. Полный вектор напряжённости можно, как обычно, представить в виде векторной суммы: . Последнее уравнение принято записывать так: . Здесь векторный оператор «градиент» grad = . Уравнение устанавливает искомую связь двух характеристик электростатического поля — напряжённости и потенциала: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. (Ньютон/Кулон=Вольт/метр)

Напряжённость поля точечного заряда Q известна в любой точке пространства: . Так как это сферически симметричное поле, его потенциал будет меняться только как функция r. Поэтому связь напряжённости и потенциала можно упростить и записать так: . Или: . Разность потенциалов двух точек поля: Полученный результат позволяет сделать два вывода: 1.Потенциал произвольной точки поля точечного заряда обратно пропорционален расстоянию от заряда до рассматриваемой точки: . 2.Потенциал бесконечно удалённой точки (r2  ) равен нулю  = 0. Множество точек одинакового потенциала образует в пространстве сферические эквипотенциальные поверхности.