3)Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме.

По определению потоком вектора напряжённости электрического поля через выделенную поверхность называется скалярное произведение этих двух векторов: Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную ₀.

Док:

Рассмотрим простейший случай: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q. Напряжённость этого поля хорошо известна . Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r, с центром в той точке, где находится заряд Q. Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко . Здесь мы учли, что: в каждой точке гауссовой поверхности векторы и совпадают по направлению, поэтому угол между ними  = 0, а cos = 1; во всех точках гауссовой поверхности напряжённость поля одинакова по величине и равна . Таким образом: . Теперь рассмотрим общий случай: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает N точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхность S, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей (аналогичный вывод формулы)…чтд..

Поле бесконечной заряженной нити , где Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости , где Поле сферического конденсатора - между обкладками. В остальных местах =0.

4) Работа сил электрического поля по переносу заряда. Разность потенциалов. Электрический потенциал. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом.

Рассмотрим произвольное перемещение (1–а–2) заряда q в электростатическом поле. Пусть поле создаётся неподвижным точечным зарядом Q (рис. 3.1.). В процессе перемещения на заряд q действует кулоновская сила: . Её работа на перемещении равна: . Здесь dr = dlсos — толщина сферической оболочки, окружающей заряд Q. Полная работа электрической силы равна сумме работ на всех участках траектории: . Эта работа не зависит от формы траектории и остаётся неизменной, если начальная и конечная точки траектории не меняют своего положения. Рассмотрим перемещение того же заряда q из начальной точки 1 в конечную 2 по новой траектории 1–b–2. При преодолении прежнего сферического слоя на перемещении электрическая сила совершит работу: . Но ведь эта работа в точности совпадает с работой на перемещении dl (3.2) по первоначальной траектории 1–а–2. Полная работа, равная сумме элементарных работ на всех участках новой траектории, будет равна работе электрической силы на траектории 1–а–2: . Мы пришли к выводу, что кулоновская сила консервативна.

Вычислим работу кулоновской силы (подставим в формулу для работы формулу силы Кулона) + В механике было показано, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии системы => потенциальная энергия системы: + const. Константа принимается обычно равной нулю. Это означает, что принимается равной нулю энергия взаимодействия зарядов q и Q на бесконечном удалении их друг от друга (при r = ∞). Энергия единичного (q = 1) точечного заряда уже не будет связана с величиной этого пробного заряда q и может быть принята в качестве энергетической характеристики данной точки электростатического поля: . Эта энергетическая характеристика поля получила название потенциал — . Потенциал произвольной точки электростатического поля равен энергии единичного положительного заряда, помещённого в эту точку.

Можно придать потенциалу и иной физический смысл. Поместим заряд q в поле точечного заряда Q. Первоначально расстояние между зарядами — r. Отпустим заряд q. Под действием электрической силы отталкивания заряд q удалится в бесконечность. На этом перемещении кулоновская сила совершит работу: . Эта работа не зависит от формы траектории, поэтому мы её вычислили, считая, что заряд q удаляется по радиусу. => . Потенциал некоторой точки электростатического поля равен работе, совершаемой электрической силой при эвакуации единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность. (по анологии для работы от нескольких частиц А разбиваем на элементарные работы). . принцип суперпозиции для потенциала.

Ещё раз обратимся к вычислению работы электрической силы при перемещении заряда q из точки 1 теперь уже произвольного электростатического поля в бесконечность. Поскольку эта работа не зависит от формы траектории, унося заряд в бесконечность, пройдём предварительно точку 2 электростатического поля. Ясно, что вся работа на этом перемещении складывается из двух частей: . Разделив это равенство на величину переносимого заряда q, получим: , или: . Здесь — разность потенциалов двух точек поля. Она равна работе, совершаемой электрической силой при перемещении единичного заряда из первой точки во вторую: . Таким образом, зная разность потенциалов двух точек поля, легко вычислить работу электрического поля, совершаемую при перемещении заряда q между этими точками: . (измеряется в вольтах).