Угловое уравнение.

Движение электрона в водородоподобном атоме, по координатам и , описываемое функцией , можно рассматривать, как ротатор.

Угловое уравнение вида

или ,

где собственные значения энергии

,

а собственные значения квадрата момента импульса

.

Собственными функциями оператора являются шаровые функции вида:

,

где - присоединенные полиномы Лежандра

.

Орбитальное (азимутальное) квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме, т.е. конфигурацию электронного облака и принимает значений:

.

Квантовое число - магнитным квантовым числом. Оно определяет проекцию момента импульса на произвольно выбранную ось:

,

, но ,

и принимает значений:

.

определяет дискретные значения проекции момента импульса на выбранное направление, т.е., определяет ориентацию оси симметрии и конфигурацию распределения электронного облака в пространстве.

Электрон создает магнитный момент :

,

где - гиромагнитное отношение,

- магнетон Бора , .

Числовое значение совпадает со значением, полученным из теории Бора.

Проекция магнитного момента на ось , следовательно,

,

где - магнитное квантовое число.

П ри наложении внешнего магнитного поля происходит взаимодействие магнитного момента атома с . В результате атом получает дополнительную энергию

Используя , получаем

.

Проекции момента импульса принимают дискретные значения (пространственное квантование ):

.

Тогда

,

Полная энергия атома в магнитном поле

.

Для атома водорода

при ; ; .

Если , то .

Если , то .

Уровень энергии расщепляется на 3 подуровня

; ; ;

.

Полное число состояний в атоме водорода. Квантовые числа.

Рассмотрим полное число состояний в атоме водорода в общем случае.

.

Подставив в уравнение Шредингера, мы получили два взаимосвязанных уравнения для функций и .

Эти функции имеют вид

,

,

;

Где - полином Лагерра,

- полиномы Лежандра.

Тогда решение

=

содержит три целочисленных параметра – три квантовых числа: , и .

Главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме и может принимать значения - это по существу номер уровня энергии.

Орбитальное (азимутальное) квантовое число определяет модуль момента импульса электрона и может принимать значения (всего значений). Значения определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме (форму электронного облака).

Магнитное квантовое число определяет проекцию на произвольно выбранное направление (или ориентацию электронного облака в пространстве) и может принимать значения (всего значений).

Полное число состояний для данного

,

т.е., данной энергии соответствует состояний (или функций). Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число этих состояний называется кратностью вырождения.

В атомной физике состояния принято обозначать символами , , и т.д. (по числу ):

- -состояние,

- -состояние,

- -состояние,

- -состояние и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед обозначением квантового числа :

-состояние , ;

-состояние , ,

-состояния , ,

-состояние , ,

-состояния , ,

-состояния , , .

Волновую функцию часто называют атомной орбиталью (АО) и, в зависимости от того, какое значение принимает орбитальное число , говорят, что электрон находится на -, -, -, … орбитали.

Полная энергия электрона в атоме водорода

,

где .

Этот результат совпадает с выводами теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствия основных положений квантовой механики, тогда как в теории Бора такой результат получался при специальных предположениях.